Exercícios Resolvidos de Torque

Sistema de Partículas, Corpos Rígidos, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica, Dinâmica de Rotação

Um sistema é composto por uma haste de massa M   e comprimento L , que está livre para girar em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa, e por duas massas pontuais M e 2 M , que se encontram afixadas nas extremidades da haste, conforme mostra a figura. Inicialmente, haste e massa estão em repouso na direção horizontal, quando são liberadas e passam a exercer rotações em torno do eixo z no sentido horário. Despreze os efeitos e resistências do ar.

a ) Determine as coordenadas x c m e y c m do centro de massa do sistema para a situação descrita.

b ) Determine o momento de inércia de rotação associado ao sistema.

c ) Determine o vetor torque em relação ao eixo de rotação exercido pela força peso de cada componente do sistema e o vetor torque resultante, indicando sua direção em termos dos vetores unitários de base, conforme indicado na figura.

d ) Utilizando conceitos de energia e seu princípio da conservação, determine a velocidade angular de rotação do sistema ao passar pela posição vertical. Poderíamos também utilizar as expressões da cinemática rotacional para calcular a velocidade angular? Justifique.

Passo 1

a )

Para determinar as coordenadas do centro de massa, vamos primeiro lebrar da definição! Ah...como a barra está na horizontal, sobre o eixo x , o centro de massa não terá componente no eixo y , portanto:

y c m = 0

Agora sim vamos calcular a componente x !

x c m = ∑ m i   .   x i ∑ m i

Para nosso sistema, temos:

x c m = M   . ( - L 2 ) + M . 0 + 2 M . L 2 M + M + 2 M

x c m = M . L 2 4 . M

x c m = L 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos agora calcular o momento de inércia do sistema! Lembrando que o eixo de rotação passa pelo centro de massa da barra, que é no meio da barra.

I = I h a s t e + I M + I 2 M

I = M . L 2 12 + M . L 2 2 + 2 M . L 2 2

I = 5 . M . L 2 6  

Passo 3

c )

Para calcular o torque resultante, vamos calcular o torque de cada componente em relação ao eixo de rotação:

τ h a s t e = 0   × M . g

τ h a s t e

O torque da haste é zero, pois a força peso atua exatamente no eixo, ou seja, o vetor r → é zero!

Passo 4

Vamos agora calucular o vetor torque das massas M e 2 M !

τ M = L 2 - i ^ × M . g ( - j ^ )

τ M = M . g . L 2 k ^

Para a massa 2 M , temos:

τ 2 M = L 2 i ^ × 2 M . g - j ^

τ 2 M = 2 M . g . L 2 ( - k ^ )

Passo 5

Agora que temos os três vetores torque em separado, podemos fazer a soma para descobrir o vetor resultante! Se liga!

τ = τ h a s t e + τ M + τ 2 M

τ = 0 + M . g . L 2 k ^ + 2 M . g . L 2 ( - k ^ )

τ = M . g . L 2 - k ^

Passo 6

d )  

Para calcular a velocidade angular quando o sistema passa pela posição vertical, precisamos lembrar o princípio de conservação da energia, para o sistema, temos que soma da variação da energia cinética rotacional com a variação da energia potencial gravitacional, deve ser zero!

∆ E c + Δ E p = 0

∆ E c = - Δ E p

Vamos determinar cada variação de energia!

Passo 7

Para a energia cinética, temos:

∆ E c = I . ω f 2 2 - I . ω i 2 2

Como o sistema parte do repouso:

∆ E c = I . ω f 2 2

Para a energia potencial, adotando y = 0 , como potencial zero, temos que a energia potencial no início é zero, mas quando o sitema fica na vertical, temos:

Δ E p = M . g . L 2 + 2 M . g . - L 2

Δ E p = - M . g . L 2

Passo 8

Agora sim, podemos substituir na fórmula da conservação!

I . ω f 2 2 = - - M . g . L 2

Isolando ω f , e substituindo o momento de inércia pelo valor que achamos no item b, temos:

ω f 2 = 6 . M . g . L 5 . M . L 2

ω f = 6 . g 5 . L

Infelizmente a cinemática rotacional seria de pouco uso, pois no caso desse sistema, temos uma aceleração variável. O movimento circularmodela sistemas com aceleração constante.

Resposta

a )   x c m = L 8 ; y c m = 0

b ) I = 5 . M . L 2 6

c ) τ = M . g . L 2 - k ^

d )   ω f = 6 . g 5 . L ; Não, o sistema possui aceleração variável, que seria de difícil modelagem na cinemática rotacional.

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