Exercícios Resolvidos de Torque

No espaço sideral, longe da influência gravitacional de qualquer planeta ou estrela, dois veículos espaciais munidos de fogutes estão acoplados a uma estação espacial longa de L = 90   m de comprimento. O sistema todo encontra-se em repouso. A massa de um dos veículos é m 1 = 100   t o n e l a d a s e a do outro m 2 = 250   t o n e l a d a s . A massa da estação espacial é m e = 100   t o n e l a d a s e esta pode ser considerada como um cilindro delgado homogêneo. Os foguetes são acionados simultaneamente, de forma que a magnitude da força de reação dos gases de exaustão sobre cada veículos (i.e., o empuxo) é de 90000   N e pode ser considerada perpendicular à estação espacial.

Importante: Quando necessário, faça substituições numéricas apenas nas expressões analíticas finais. Quantidades vetoriais devem ser expressas num sistema de coordenadas com uma base apropriada de versores.

Dados: I C M = 1 12 M L 2 (barra)

(a) Calcule a posição do centro de massa CM do sistema “veículos + estação espacial” com respeito à posição do centro de massa da estação espacial. Trate os veículos como massas pontuais.

(b) Escreva a equação de movimento para o CM do sistema do ítem (a) num referencial inercial antes e depois do acionamento dos foguetes. Que movimento descreve o CM após o acionamento?

(c) Determine o momento de inércia do sistema do ítem (a) com respeito a um eixo passando pelo seu CM e perpendicular ao plano de movimento dos veículos após o acionamento dos foguetes.

(d) Determine o vetor torque total com respeito ao CM devido ao empuxo dos foguetes.

(e) Calcule a magnitude da velocidade angular de rotação do sistema 100   s após o acionamento dos motores.

Passo 1

Na letra (a), queremos a posição do centro de massa desse sistema.

Primeiro de tudo, precisamos estabelecer um sistema de coordenadas que vamos usar ao longo de todo o exercício:

OBS: O eixo z está para fora do papel.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado diz que podemos tratar dos dois foguetes como partículas.

Mas e a estação espacial?

Bom, para calcular a posição do centro de massa do sistema, vamos considerar a estação também como uma partícula em seu centro.

Como a estação é homogênia, o centro de massa desse corpo estará na origem.

Assim, ficamos com:

x C M = x 1 m 1 + x e m e + x 2 m 2 m 1 + m e + m 2

x C M = - L / 2 100 + 0 100 + L / 2 250 100 + 100 + 250

x C M = 150 L / 2 450 = L / 2 3

Sabemos que o comprimento L é de 90   m :

x C M = 90 / 2 3 = 15   m

Ou seja, o CM está por aqui:

Podemos responder indicando a posição diretamente no eixo x :

x C M = 15   m

Ou então indicando o vetor posição r → :

r → C M = 15 i ^   m

Passo 3

Na letra (b), queremos a equação de movimento do centro de massa.

Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton:

F → R = m a →

Antes do acionamento dos foguetes, não temos nenhuma força atuando sobre o sistema:

F → R = m a →

0 = m a →

a → = 0

Enquanto depois do acionamento dos foguetes, temos:

F → R = m a →

F → 1 + F → 2 = m a →

As duas forças são iguais a 90000   N :

90000 - 90000 j ^ = m a →

a → = 0

Assim, tanto antes quanto depois do acionamento dos foguetes, temos que a aceleração do centro de massa é nula:

a → = 0

Se não há aceleração, o centro de massa continua com a mesma velocidade, ou seja, em repouso.

Passo 4

Na letra (c), queremos o momento de inércia do sistema com relação ao eixo passando pelo CM.

O momento de inércia total será a soma do momento de inércia dos foguetes com o momento de inércia da estação (haste):

I = I 1 + I 2 + I e

Passo 5

O momento de inércia de uma partícula é dado por:

I = M R 2

Como consideramos os foguetes como partículas, temos:

I 1 = 100 × 10 3   k g 45 + 15   m 2 = 3600 . 10 5   k g . m 2

I 2 = 250 × 10 3   k g 30   m 2 = 2250.10 5   k g . m 2

Passo 6

Para calcular o momento de inércia da estação, vamos usar o valor o dado do enunciado de momento de inércia de uma barra:

I C M = 1 12 M L 2

Entretanto, esse valor é para um momento de inércia com relação a um eixo passando pelo centro de massa da barra (centro da barra).

Mas, estamos considerando um eixo de rotação que passa pelo centro de massa do sistema.

Então, vamos usar o Teorema dos eixos paralelos para calculá-lo.

I = I C M + M d 2

A distância d entre os eixos será:

I e = 1 12 M L 2 + M d 2

I e = M 1 12 90 2 + 15 2

I e = 100 × 10 3 8100 12 + 225

I e = 10 5 2025 3 + 225   k g . m 2

I e = 900.10 5   k g . m 2

Passo 7

Somando os momentos de inércia, temos:

I = 3600 + 2250 + 900 10 5

I = 6750.10 5   k g . m 2

Passo 8

Na letra (d), queremos o vetor torque resultante.

O torque resultante será a soma dos torques das forças de cada foguete.

τ → = τ → 1 + τ → 2

O torque da força do foguete 1 será:

τ → 1 = r → 1 × F → 1

τ → 1 = - 60   i ^ × - 90000   j ^

O produto vetorial de i ^ × j ^ resulta em k ^ :

τ → 1 = 5,4 × 10 6   k ^   N . m

Já o torque da força do foguete 2 será:

τ → 2 = r → 2 × F → 2

τ → 2 = 30   i ^ × 90000   j ^

O produto vetorial de i ^ × j ^ resulta em k ^ :

τ → 2 = 2,7 × 10 6   k ^   N . m

Então, o torque resultante é:

τ → = τ → 1 + τ → 2

τ → = 5,4 × 10 6 k ^ + 2,7 × 10 6   k ^

τ → = 8,1 × 10 6   k ^   N . m

Passo 9

Na letra (e), queremos a velocidade angular após 100   s .

Pela segunda lei de Newton para rotações, temos que:

τ R = I α

8,1 × 10 6 = 6750.10 5 α

α = 0,012   r a d / s 2

Passo 10

Como a aceleração angular é constante, podemos usar a equação de um MCA:

ω = ω 0 + α t

Como o sistema parte do repouso:

ω = 0 + α t

Substituindo os valores, temos:

ω = 0,012 100 = 1,2   r a d / s

Resposta

(a) x C M = 15   m

(b) a → = 0

O centro de massa se mantem em repouso.

(c) I = 6750.10 5   k g . m 2

(d) τ → = 8,1 × 10 6   k ^   N . m

(e)

ω = 1,2   r a d / s

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