Um disco de raio R e massa m gira livremente com velocidade angular ω em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa. Pela ação de um torque, o eixo de rotação é alterado para a horizontal em um intervalo de tempo Δ t , conforme a figura abaixo. Sabendo que o módulo da velocidade angular do disco manteve-se constante durante a aplicação do torque, mostre que o módulo do torque médio aplicado Γ - é dado por:

Γ - = m R 2 ω Δ t ⋅ 2 2  

Passo 1

Faaala galerinha, tudo na paz por aí?

Então, nesse exercício temos um disco girando com velocidade angular ω . Inicialmente, esse disco girava com vetor ω na direção k → , mas após a ação de um torque externo, esse disco passou a girar com a mesma velocidade angular só que na direção i → .

O enunciado nos pede para provar que o torque médio aplicado para a mudança da direção da velocidade angular do disco é dado por:

Γ - = m R 2 ω Δ t ⋅ 2 2  

Tranquilo?

Pra fazer isso precisamos lembrar de um teorema muito importante: o teorema do momento angular. Segundo ele, a variação do momento angular L → é dada por:

Δ L → = Γ - ⋅ Δ t

Além disso, sabemos também que o momento angular de um objeto é dado por:

L → = I ω →

Juntando essas duas informações conseguiremos provar a expressão para o torque médio.

Vamo nessa?!

Passo 2

Bom, a ideia principal é usarmos o teorema do momento angular. Para isso precisamos calcular qual a variação de momento angular envolvida nessa mudança da direção de giro do disco.

Podemos dizer que:

Δ L → = L → f - L → i

Mas, temos:

L → f = I ⋅ ω → f

L → i = I ⋅ ω → i

Precisamos então calcular três coisas: I ,   ω → f ,   ω → i .

Começando pelo momento de inércia, como trata-se de um disco, podemos afirmar que:

I = m R 2 2

Já para os vetores velocidade angular, devemos observar a imagem mostrada no enunciado. Inicialmente, o disco girava com velocidade angular na direção k →   e módulo ω . Após a mudança na direção ele passou a girar na direção i → com o mesmo módulo.

Assim:

ω → f = ω i →

ω → i = ω k →

Juntando tudo, vamos ter:

Δ L → = m R 2 ω 2 i → - k →

Como estamos interessados no módulo, teremos:

Δ L → = m R 2 ω 2 2 1 2 + 1 2  

=   m R 2 ω 2 2

Muito bom!

Passo 3

Agora que já calculamos o módulo da variação do momento angular, podemos chamar o teorema do momento angular:

Γ - ⋅ Δ t = m R 2 ω 2 2  

Isolando o torque médio aplicado, chegamos a:

Γ - = m R 2 ω Δ t ⋅ 2 2  

Essa é justamente a expressão que o enunciado havia nos pedido para provar!

Portanto, concluímos a demonstração 😊

Conseguiram entender tudo direitinho? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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