Exercícios Resolvidos de Torque

Um carretel é composto por um cilindro interno de raio r   =   R / 2 e massa M , enrolado por um fio ideal, com 2 discos idênticos, de massa M e raio R cada um, por fora do cilindro interno, concêntricos a este último (como um iô-iô). Inicialmente o carretel está em repouso em uma superfície horizontal quando o fio enrolado ao cilindro interno começa a ser puxado na direção horizontal, conforme a figura, por uma força de módulo F . Observa-se que o cilindro rola sem

deslizar sobre a superfície horizontal e sabe-se que o momento de inércia de um cilindro de massa m e raio r′ em relação a um eixo que passa por seu eixo desimetria é I C M = m r ' 2 2 .

Indique as respostas em termos de F ,   R   e   M .

(a) Mostre que o momento de inércia do carretel, em relação a seu eixo de simetria, vale

I C M = 9 8 M R 2

(b) Qual a direção e o sentido da força de atrito que atua no carretel?

(c) Determine o módulo e o sentido da aceleração do centro de massa do carretel.

(d) Qual a velocidade angular de rotação do carretel, em torno do eixo de simetria

que passa por seu centro de massa, após ele completar uma volta depois do instante

em que a força começa a atuar?

(e) Determine a energia cinética associada ao carretel no instante em que ele completa

a primeira volta após o início da aplicação da força F .

Passo 1

Calcularemos o valor do momento de inércia do carretel.

Como o carretal é composto por 2 cilindros de raio R e um cilindro de raio r = R 2 (todos com a mesma massa, podemos calcular seu momento de inércia da seguinte forma.

I C M = 2 I R + I r = 2 M R 2 2 + M R 2 2 2 = M R 2 + M R 2 8   ⇒ I C M = 9 M R 2 8

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Responderemos a letra (b).

Como o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície, podemos afirmar que existe o atrito. A força F está sendo aplicada para a esquerda. Esta força ainda gera um momento no sentido horário. Para que haja o equilíbrio, o atrito deve compensar esta força, apontando para o lado oposto de F . Logo, a força de atrito atua para a direita.

Passo 3

Calcularemos o módulo e o sentido da aceleração do centro de massa do carretel.

Fazendo o equilíbrio das forças, utilizando a segunda Lei de Newton, teremos:

Eixo y (considerando o eixo positivo para cima):

P - N = 0 ⇒ P = N

Eixo x (considerando o eixo positivo para a esquerda):

F - F a t = 3 M A C M   ( I )

Utilizando a lei de Newton para a rotação, teremos:

∑ T o r q u e s = I C M . α

Onde I é o momento de inércia do corpo e α é a aceleração angular. Para a condição sem deslizamento, α pode ser calculado como:

α = A C M R

Utilizando a fórmula da rotação (considerando a rotação anti-horária positiva), teremos:

F a t . R - F . r = I C M . α ⇒ F a t . R - F . R 2 = I C M . A C M R

Substituindo o valor de I C M calculado na letra (a), teremos:

F a t . R - F . R 2 = 9 8 M R 2 . A C M R

Simplificando R dos dois lados da expressão, teremos:

F a t - F 2 = 9 8 M A C M       ( I I )

Somando as equações I   e   ( I I ) :

F - F a t + F a t - F 2 =   3 M A C M + 9 8 M A C M

F 2 = 33 8 M A C M ⇒ A C M = 4 F 33 M

Como o valor encontrado para a aceleração foi positivo, a aceleração aponta para a esquerda.

Passo 4

Calcularemos a velocidade angular após uma volta do carretel.

Como o movimento acontece sem deslizamento, podemos considerar que:

α = A C M R

Como o movimento possui aceleração angular, podemos utilizar a fórmula do Torricelli para a rotação:

ω 2 = ω 0 2 + 2 α ∆ θ

Como a velocidade angular inicial é nula e deseja-se saber a velocidade após uma volta ( 2 π ) , teremos:

ω 2 = 2 . A C M R . 2 π ⇒ ω 2 = 4 . A C M π R   ⇒ ω 2 = 4 . 4 F 33 M . π R   ⇒ ω =   16 π F 33 M R

Logo,

ω = 4 π F 33 M R

Passo 5

Calcularemos a energia cinética após uma volta do carretel.

No cálculo da energia cinética do cilindro, teremos uma parcela relacionada à tranlação e outra relacionada à rotação do conjunto.

A parcela relacionada à translação leva em consideração a velocidade do centro de massa ( V C M ) .

Lembrando que V C M = ω R , podemos calcular a energia cinética ( K ) .

K = 1 2 3 M . V C M 2 + 1 2 I C M ω 2 ⇒ K = 1 2 3 M . ω 2 R 2 + 1 2 . 9 8 M R 2 . ω 2  

Logo,

K = 3 2 M ω 2 R 2 + 9 16 M ω 2 R 2 ⇒ K = 33 16 M ω 2 R 2

Substituindo o valor de ω encontrado no item anterior, temos:

K = 33 16 . M .   4 π F 33 M R 2 . R 2 ⇒ K = π F R

Resposta

a )   I C M = 9 8 M R 2

b )   A força de atrito atua para a direita.

c )   A C M = 4 F 33 M     ( ⟵ )

d )   ω = 4 π F 33 M R

e )   K = π F R

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