Exercícios Resolvidos de Torque

Rotação

A hélice propulsora de um avião possui comprimento l = 2 m (de uma extremidade a outra) e massa M = 90 k g . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 480 π   N . m na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. O momento de inércia da hélice em relação ao eixo perpendicular ao plano da hélice passando pelo seu centro de massa é I C M = M l 2 12 .

(a) Construir o gráfico do ângulo de rotação θ em função do tempo t , considerando a unidade de θ em revoluções e do tempo t em segundos ( θ r e v . × t s ). Também construa o gráfico da velocidade angular ω em função do tempo ( ω ( r e v / s     ) ×   t s ). Considere na construção de ambos os gráficos os instantes t = 0,1 e 2   s .

(b) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 9   r e v . iniciais? Utilize a unidade do trabalho realizado em Joule J .

(c) Qual é a potência média fornecida pelo motor durante as 9   r e v iniciais? Utilize a unidade da potência em Watts W .

(d) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 9   r e v .? Utilize a unidade da potência em Watts W .

Passo 1

(a)

Muito bem, para construir esses gráficos vamos precisar das equações que governam essas quantidades.

Vamos começar pelo gráfico de θ × t :

Sabemos que o ângulo percorrido é dado pela equação:

θ t = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2

Entretanto o problema nos informa que a hélice começa a se mover a partir do repouso. Portanto temo ω 0 = 0 e θ 0 = 0 . Restando apenas:

θ t = α t 2 2

Que é a equação de uma parábola com vértice na origem.

Vamos encontrar agora a equação para o gráfico de ω × t :

Sabemos que a velocidade angular é dada pela equação:

ω t = ω 0 + α t

Entretanto, como a hélice parte do repouso ficamos apenas com:

ω ( t ) = α t

Que é a equação de uma reta que passa pela origem.

Agora já temos como é o formato do gráfico as equações de cada gráfico. Falta determinar o α para podermos substituir nas equações e determinar os pontos em qualquer instante de tempo.

A segunda lei de Newton para a rotação nos dá que:

τ = I α

Logo:

α = τ I

Os valores do torque e do momento de inércia já foram dados no problema, basta substitui-los.

α = τ m l 2 12

α = 12 τ m l 2

α = 12   .   480 π 90   .   2 2

α = 16 π   r a d / s 2

Muito bem, achamos a aceleração angular. Entretanto falta um detalhe importante. O gráfico é de revoluções, ou seja, voltas. Não é de radianos. Então precisamos converter, mas é bem fácil. Basta lembrar que 1 volta corresponde a 2 π radianos.

α = 16 π   r a d / s 2

α = 16 π 2 π r e v / s 2

α = 8   r e v / s 2

Logo, substituindo na equação dos gráficos temos:

θ × t :

θ t = 8 t 2 2

θ t = 4 t 2

Calculando os instantes pedidos no enunciado:

θ 0,1 = 4   .   0,1 2

θ 0,1 = 0,04   r e v

θ 2 = 4   .   2 2

θ 2 = 16   r e v

Agora o gráfico de ω × t :

ω t = 8 t

Calculando nos instantes pedidos no problema:

ω 0,1 = 8   .   0,1  

ω 0,1 = 0,8   r e v / s

ω 2 = 8   .   2

ω 2 = 16   r e v / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Lembra que trabalho é igual a força x deslocamento? Então, na rotação é a mesma coisa. O trabalho vai ser igual a força de rotação(torque) x deslocamento rotacional ( radianos):

W = τ . θ

O problema quer o trabalho nas 9 revoluções iniciais. Entretanto, tem um detalhe. Precisamos passar essas revoluções para radianos. É o mesmo macete, uma revolução tem 2 π   r a d , logo:

θ = 9   .   2 π

θ = 18 π   r a d

Substituindo:

W = 480 π   .   18 π

W = 8,6 π 2 . 10 3   J

W = 8,6 π 2 k J

Passo 3

(c)

Lembrando que a fórmula da potência média é dada por:

P = W Δ t

Já possuímos o trabalho realizado. Falta só encontrar quanto tempo leva para completar 9 revoluções. Vamos utilizar a fórmula que encontramos para o gráfico no item a :

θ t = 4 t 2

Substituindo:

9 = 4 t 2

t = 9 4

t = 3 2 s

Agora é só substituir tudo na fórmula da potência:

P = W ∆ t

P = 8,6   π 2 . 10 3 3 2

P = 5,73 π 2 . 10 3   W

P = 5,73 π 2 k W

Passo 4

(d)

Para calcular a potência instantânea, basta colocar no formato diferencial:

P = d W d t

Lembrando que:

W = τ . θ

Como o torque é constante, colocando na forma diferencial fica:

d W = τ . d θ

Substituindo na potencia instantânea:

P = τ . d θ d t

No entanto, sabemos que:

d θ d t = ω

Restando apenas:

P = τ . ω

Agora só falta calcular o valor de ω em r a d / s usando a equação do item a :

ω t = 8 t

O tempo de 9 revoluções já encontramos no item anterior, t = 3 2 s .

ω 3 2 = 8   . 3 2

ω 3 2 = 12   r e v / s

Agora passando para radianos:

ω 3 2 = 12   .   2 π   r a d / s

ω = 24 π   r a d / s

Substituindo agora na fórmula da potência instantânea:

P = τ . ω

P = 480 π   .   2 4 π

P =   11,52 π 2 . 10 3   W

P = 11,52 π 2   k W

Resposta

(a)

(b) W = 8,6 π 2 k J

(c) P = 5,73 π 2 k W

(d) P = 11,52 π 2   k W

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