Exercícios Resolvidos de Torque

Torque

A figura mostra uma haste rígida de massa M e comprimento l, a qual pode girar em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro de massa (mostrado como ponto O na figura). Há uma força de atrito entre o eixo de rotação e a haste. Uma bolinha de massa m e raio desprezível é conectada a uma extremidade da haste. Inicialmente o sistema está na posição vertical conforme mostra a figura; ele começa a rodar no sentido horário sob efeito da gravidade, até parar numa posição na qual o ângulo de rotação com relação à direção original é de 3 π / 2 .

  1. Calcule o trabalho da força de atrito durante o movimento.
  2. Supondo constante o módulo do torque da força de atrito durante o movimento, qual o seu valor?
  3. Qual a aceleração angular (módulo, direção e sentido) do sistema em função do ângulo que a haste faz com a horizontal.

Dados:

Para a barra: I c m = M L 2 12

Passo 1

a):

Como a força de atrito é uma força dissipativa, podemos dizer que o trabalho dela vai ser igual a variação da energia mecânica. Assim:

W f a t = ∆ E M

A energia mecânica inicial é:

E M I = m g 2 l

E a final é:

E M f = m g l

Assim:

∆ E M = m g l - 2 m g l = - m g l

Então:

W f a t = ∆ E = - m g l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

O módulo do torque da força de atrito é dado por:

τ a t = F a t . l

Mas a gente não sabe o valor disso. Bom, mas sabemos o valor do trabalho da força de atrito.

Se tentarmos calcular o trabalho da força de atrito pela definição simples, vamos chegar a uma coisa legal:

W a t = ∫ F a t → . d s →

Mas como os dois vetores da equação são paralelos:

W a t = ∫ F a t . d s

E como isso é uma rotação podemos mudar pras coordenadas polares:

d s = l d θ

Assim:

W a t = ∫ F a t . l d θ = F a t l ∫ d θ = F a t l ∆ θ

Show?

Mas quanto vale aquela variação angular ali? Ah, o enunciado já deu:

∆ θ = 3 π 2

Assim:

W a t = F a t l . 3 π 2

W a t = τ a t . 3 π 2

Substituindo o valor do trabalho:

- m g l = τ a t 3 π 2 → τ a t = - 2 m g l 3 π

O torque é negativo por que atrasa a rotação do negocio.

Passo 3

Bom, primeiramente, a aceleração angular vai depender do ângulo porque o torque da força peso vai depender dele. O torque da força de atrito é constante, mas o da força peso não.

Depois da gente calcular o torque da força peso, vamos usar a equação:

τ r e s u l t a n t e = I α

E descobrir α .

Bom, naturalmente, a gente nota que quando a barra estiver fazendo π 2 com a horizontal, o torque do peso vai ser nulo porque a direção do peso vai coincidir com a barra.

Já quando a bolinha estiver toda deitada, o torque vai ser máximo. Então é de esperar que o torque seja assim:

τ p e s o = P c o s θ l = m g l c o s θ

E ele é sempre positivo porque ele aumenta a rotação do negocio.

Então, o torque total ou resultante é dado por:

m g l c o s θ - 2 m g l 3 π = I α

Show?

Agora é substituir o valor de I :

m g l c o s θ - 2 m g l 3 π = m l 2 12 α → α = 12 g l - 8 π g l

α = g l 12 π - 8 π

Resposta

a):

W f a t = - m g l

b):

τ a t = - 2 m g l 3 π

c):

α = g l 12 π - 8 π

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