Exercícios Resolvidos de Torque

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 320-19.

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas ( 0 ,   - 4,0   m ,   3,0   m ) se esse torque se deve (a) a uma força F 1 → de componentes F 1 x = 2,0   N ,   F 1 y = F 1 z = 0 e (b) a uma força F 2 → de componentes F 2 x = 0 ,   F 2 y = 2,0   N ,   F 2 z = 4,0   N ?

Passo 1

A gente aprendeu que torque é um produto vetorial, entre um vetor Força e um vetor Raio (Braço)

τ → = r → × F →

Então o que vamos fazer nesse exercício é calcular os torques gerados pela força   F 1 → para a letra a ) e para força   F 2 →   para letra b ) .

O enunciado nos diz que em ambos os casos temos um raio r = 0   i ^ - 4     j ^ + 3   k ^ , sendo   i ^ ,       j ^   ,     k ^ , vetores unitários dos eixos x ,     y e z respectivamente.

Vamos fazer um desenho pra gente visualizar melhor esse braço de alavanca.

Agora vamos pra cada uma das forças calcular o torque de cada uma das forças agindo na partícula em relação a origem, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Por ser um exercício em 3 dimensões fica difícil representar a imagem, mas “planificando” nossas dimensões:

τ → = r → × F →

Um detalhe que facilita um pouco a nossa vida é que a força F 1 → só possui componente em x como mostrado no desenho, daí o produto vetorial fica:

τ 1 → = - 4   j ^ + 3   k ^ × 2   i ^  

Poderíamos resolver de forma matricial ou usando distributiva, nesse caso usaremos a distributiva.

τ 1 → = - 8   j ^   × i ^ + 6 (   k ^ × i ^ )

Podemos usar uma regrinha aqui pro sinal do produto vetorial com essa figura aqui:

Só pensar no sentido do produto, se o sentido for horário o resultado é positivo e se o sentido for anti horário é negativo. Na primeira parcela temos:

  j ^   × i ^ de j ^ para i ^ o sentido é anti-horário e o resultado dessa parcela é k ^ negativo.

  k ^   × i ^ de k ^ para i ^ o sentido é horário e o resultado dessa parcela é j ^   positivo.

então:

τ 1 → = - - 8   k ^ + 6   j ^ = 8 k ^ + 6 j ^

Passo 3

(b) Realizando a mesma coisa para F 2 :

τ 2 → = r → × F 2 →

τ 2 → = ( - 4   j ^ + 3   k ^ ) × 2   j ^ +   4   k ^

O produto vetorial entre dois vetores que estão no mesmo sentido vale 0 (lembra que na fómula aparece s e n   θ ? ) , logo:

τ 2 → = 0 + 6   k ^ × j ^   - 16     j ^ × k ^   + 0

Usando aquela regra do sentido, podemos encontrar pra cá também o resultado do produto vetorial.

A parcela de k ^ para   j ^ vai dar pra gente - i ^ , a outra parcela de j ^ para k ^ vai nos dar algo no sentido + i ^ , assim temos:

τ 2 → = - 6   i ^ - 16   i ^ = - 22   i ^

Resposta

a) τ 1 → = 8   k ^ + 6   j ^   N . m

b) τ 2 → = - 22   i ^   ( N . m )

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