Exercícios Resolvidos de Torque

Uma barra delgada homogênea de massa M e comprimento L   encontra-se suspensa horizontalmente com a extremidade B apoiada na borda de uma mesa e a outra extremidade A suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível preso ao teto. O fio é cortado com uma tesoura e o instante imediatamente após o corte será chamado de t 0 .

(a) Adote um sistema de coordenadas, esboce o diagramas de forças sobre a barra antes e imediatamente após o corte do fio. Escreva todas as forças explicitamente nas duas situações acima em termos da base de versores adotada.

(b) Antes do corte do fio, ou seja, para t   <   t 0 , determine a magnitude das forças F A → e F B → .

(c) Determine o vetor torque com respeito ao ponto B no instante t 0 .

(d) Determine o vetor aceleração angular da barra em t 0 ao girar em torno de um eixo passando por B .

(e) Determine o vetor aceleração do centro de massa em t 0 .

(f) Determine a força F B → de reação da mesa sobre a extremidade B da barra em t 0 . Qual a razão entre a magnitude dessa força em t   =   t 0 e em t   <   t 0 ?

IMPORTANTE: Deixe todas as suas respostas em termos apenas das variáveis fornecidas no enunciado, da aceleração gravitacional local ( g → ) e dos versores da base adotada.

Passo 1

Opa!! Vamos lá! Temos uma barra presa com um fio e apoiada na mesa. Aí em um certo momento eles cortam o fio, aí aquela ponta da barra que tava sendo presa pelo fio cai. Nisso que ela cai ela descreve um pedaço de trajetória circular. Beleza?

Então vamos lá.

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Passo 2

(a)

Ele quer dois diagramas de forças, um quando o fio tá lá e outro depois que cortaram o fio.

A barra tem massa então sofre a atração gravitacional, logo temos o peso, em ambas situações.

Quando temos fio, existe tensão no fio.

Além disso, a barra tá apoiada na mesa,que é uma superfície, então temos uma normal em ambos os casos.

Coloquei ali embaixo os nosso eixo de coordenadas, onde x e y estão no plano e z sai da página.

Agora vamos escrever as forças explicitamente, como ele pede:

Com o fio:

P → = P - y ^ = - M g   y ^  

T → = T   y ^

N → = N   y ^

Sem fio:

P → = P - y ^ = - M g   y ^

N → = N   y ^

Show! Vamos para o próximo.

Passo 3

(b)

Só uma observação, as forças no ponto A,   F A → , e no ponto B, F B → , são respectivamente a tração e a normal. Só olhar na figura anterior. Beleza?

Então, quando ainda temos o fio, a barra está parada, ela está em equilíbrio!

As condições de equilíbrio são:

∑ F → = 0

∑ τ → = 0

Usando a primeira condição:

P → + T → + N → = 0

Na letra (a) escrevemos essas forças explicitamente, então vamos usar elas:

- M g   y ^ + T y ^ + N y ^ = 0

T + N = P

Beleza..guarda essa aí.

Vamos ver a outra condição de equilíbrio agora:

∑ τ → = 0

τ → P + τ → T + τ → N = 0

Como o normal tá aplicada em cima do eixo de rotação, então ela não produz torque, beleza? O peso e a tração produzem em relação ao eixo que passa pelo ponto B.

Vamos calcular o torque de cada um deles:

τ → P = r → × P →

Lembrando que o   r → é a distância do eixo de rotação até o ponto em que a força tá sendo aplicada. Como o peso tá aplicado no CM da barra, que é o meio da barra, temos que:

r → = L 2   x ^

Então:

τ → P = r → × P →

τ → P = L 2   x ^ × - M g   y ^

τ → P = - L 2   M g   z ^

Agora, vamos calcular o torque da tração:

τ → T = r → × T →

Agora o r → = L   x ^ porque a tração tá aplicada lá no final da barra.

τ → T = L   x ^ × T y ^

τ → T = L   T z ^

Show! Agora vamos voltar pra nossa condição:

τ → P + τ → T + τ → N = 0

- L 2   M g   z ^ + L   T z ^ + 0 = 0

Arrumando isso:

T = M g 2

Uhul! Essa é a força   F A → que ele pediu pra gente!

Pra gente achar a F B → , ou seja a normal, vamos lembrar da condição de equilíbrio para as forças que a gente fez lá em cima:

T + N = P

Já sabemos o T e o P , então é só substituir:

M g 2 + N = M g

N = M g 2

Maravilha!

Passo 4

(c)

Agora ele pede pra gente achar o torque em relação ao ponto B quando cortamos o fio.

Nessa situação, só temos o peso e a normal atuando. Mas a normal tá em cima do eixo, que passa pelo ponto B, então o torque dela é nulo (porque r → = 0 ).

Logo, só vamos ter o torque do peso. Que calculamos ali em cima:

τ → P = - L 2   M g   z ^

Passo 5

(d)

Agora ele quer a aceleração angular que a barra tem quando o fio é cortado.

Para isso, vamos usar a relação do torque com a aceleração angular:

τ → = I α →

Vimos na letra (c) que só temos o torque do peso, então já sabemos o valor dele.

Temos que descobrir o momento de inércia agora.

O valor tabelado para o momento de inércia de uma barra que gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa é:

I C M = M L 2 12

Mas nesse nosso problema o eixo de rotação tá passando pelo CM?

Não né! O eixo tá lá na extremidade da barra.

Então, pra gente descobrir o momento de inércia em relação a esse eixo da extremidade, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I n o v o = I C M + M d 2

Lembrando que o d é a distância do CM até o nosso eixo novo, e que no nosso caso vale L 2 , olha aí na figura pra você lembrar:

Então:

I n o v o = M L 2 12 + M L 2 2

Resolvendo essa continha:

I n o v o = M L 2 3

Maravilha! Já podemos descobrir a aceleração angular

τ → = I α →

- L 2   M g   z ^ = M L 2 3 α →

Ajeitando isso daí:

α → = - 3 2 g L   z ^

Passo 6

(e)

Agora na letra (e) ele pede a aceleração do CM, que é dada por:

a → = d v → C M d t

Lembrando que:

v → C M = ω → C M × r →

A gente não sabe o valor do ω → , mas sabemos sua direção e sentido, pela regra da mão direta, se a gente girar os dedos no mesmo sentido de rotação da barra, o nosso dedão vai estar apontando pra dentro da folha, certo?

E o r → é o raio da trajetória circular, em relação ao CM:

Então:

v → C M = - ω   z ^ × L 2   x ^

v → C M = - ω L 2   y ^

Como falamos antes:

a → = d v → C M d t

a → = d d t - ω L 2   y ^

a → = - L 2 d ω d t y ^

E quem é d ω d t ? (Só o módulo, ok?

d ω d t = α = 3 g 2 L

Então:

a → = - L 2 3 g 2 L y ^

a → = - 3 g 4 y ^

Show!

Passo 7

(f)

Vamos olhar de novo pro nosso diagrama quando o fio é cortado:

A força em B é a normal, certo?! Então, aplicando a segunda lei:

F R → = M a → C M

Acabamos de achar a a → C M na letra (e):

N - P = M - 3 g 4

N - M g = M - 3 g 4

Ajeitando isso:

N = M g 4

Como ela aponta para cima:

N → = M g 4   y ^

Beleza! Essa é a nossa força em B depois que cortaram o fio.

Agora a gente precisa achar a força em B (normal) quando o fio ainda estava lá e calcular a razão de uma pela outra!

Quando o fio ainda tava lá:

Pela segunda lei:

N + T - P = M a C M  

A gente achou a tração lá na letra (b), e como o conjunto tava parado, a aceleração é zero.

N + M g 2 - M g = 0

N = M g 2

Como ela tá apontando pra cima:

N → = M g 2   y ^

Finalmente, vamos calcular a razão da força em B(normal) antes de cortarem o fio e depois de cortarem o fio:

M g 4 M g 2 = 1 2

Resposta

(a)

Com o fio:

P → = P - y ^ = - M g   y ^  

T → = T   y ^

N → = N   y ^

Sem fio:

P → = P - y ^ = - M g   y ^

N → = N   y ^

(b)

N = T = M g 2

(c)

τ → P = - L 2   M g   z ^

(d)

α → = - 3 2 g L   z ^

(e)

a → = - 3 g 4 y ^

(f)

Sem o fio:

N → = M g 4   y ^

Com o fio:

N → = M g 2   y ^

Razão entre elas:

1 2

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