Exercícios Resolvidos de Torque

Considere um pêndulo cônico formado por um fio ideal de comprimento l e uma pequena esfera de massa m que descreve um movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular ω → = ω z ^ , conforme a figura a seguir.

Sabemos que as quantidades relacionadas à rotação podem depender do ponto em relação ao qual são calculadas. Comparando sempre as quantidades em relação ao ponto O (centro do movimento circular) e Q (ponto onde o fio está fixo) qual a única das quantidades a seguir é a mesma?

(a) Torque causado pela força peso na esfera.

(b) Torque causado pela tração do fio na esfera.

(c) Torque causado pela força resultante na esfera.

(d) Momento angular da esfera.

Passo 1

Temos um pêndulo cônico e queremos comparar algumas quantidades com relação ao ponto O e ao ponto Q.

Dando uma olhada rápida nas alternativas, vemos que todas envolvem o torque de alguma força aplicada na partícula ou seu momento angular.

O torque é dado por:

τ → = r → × F →

Enquanto o momento angular de uma partícula é dado por:

L → = r → × p →

Como essas grandezas dependem do vetor posição, já podemos desenhar o vetor posição a partir do ponto O r → O e o vetor posição do ponto Q r → Q :

Agora vamos analisar cada grandeza.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Torque causado pela força peso na esfera.

Vamos olhar para a força peso:

O torque da força peso para o ponto O é:

τ → O = r → O × P →

Como os vetores são perpendiculares, o módulo do torqe fica apenas o produto dos módulos e sua direção perpendicular ao plano que estamos observando:

τ O = r O P

Já o torque da força peso para o ponto Q é:

τ → Q = r → Q × P →

Bom, para calcular esse produto vetorial podemos pegar a componente de r → Q perpendicular ao vetor P → e multiplicar seu módulo pelo módulo da força. Além disso, a direção do torque também será perpendicular ao plano que estamos olhando:

τ Q = r Q ' P

Repara que a componente r → Q ' é exatamente igual em módulo ao vetor r → O , então:

r Q ' = r O

Assim:

τ Q = r Q ' P

τ Q = r O P

Logo, os torquess da força peso com relação ao ponto O e Q são iguais.

τ Q = τ O

A letra (a) está correta.

Vamos passar rapidamente pelas outras e observar porque são diferentes.

Passo 3

(b) Torque causado pela tração do fio na esfera.

A força de tração está na direção do fio:

Como o vetor r → Q é paralelo ao vetor T → , o torque dessa força com relação ao ponto Q é nulo:

τ Q = 0

Enquanto isso, o torque da força F → com relação ao ponto O não será nulo:

τ → O = r → O × T →

Passo 4

(c) Torque causado pela força resultante na esfera.

Como a esfera realiza um movimento circular na base do “cone”, a força resultante atuando sobre ela é uma força centrípeta e aponta para o centro da trajetória circular:

Assim, pela mesma lógica do item anterior, o torque da força resultante com relação ao ponto O será nulo pois os vetores são paralelos:

τ O = 0

Enquanto o torque da força resultante com relação ao ponto Q não será nulo:

τ → Q = r → Q × T →

Passo 5

(d) Momento angular da esfera.

O momento angular é dado por:

L → = r → × p →

Para ambos os vetores posição r → Q e r → O , o vetor momento linear p → faz um ângulo de 90 ° com eles.

Portanto, o módulo do momento angular em ambos os casos ficará o produto dos módulos dos vetores posição r → e momento linear p → :

L Q = r Q p L O = r O p

Como o módulo do vetor posição r → Q é maior que o módulo de r → O , os momentos angulares terão valores diferentes.

Além disso, os vetores momento linear para o ponto Q e para o ponto O estarão em direções diferentes.

Resposta

Letra (a)

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