Exercícios Resolvidos de Torque

Dinâmica de Rotação

Um disco de raio r = 5,0   c m e massa m = 1,0   k g e um cubo de lado a = 10   c m e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento d = 2,0   m inclinado de θ = 60 ° com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente μ C = 0,3 e μ E = 0,5 . Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio R = 35   c m como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição R - a 2 ,   - R + a 2 . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica k = 100   N / m . A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é g = 10   m / s 2 . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.

a) Os dois objetos são liberados a partir do repouso e descem o plano inclinado. O disco desce rolando sem deslizar. Utilize a 2ª Lei de Newton para determinar qual dos dois objetos chega primeiro à base do plano. Para este item um sistema de coordenadas diferente do proposto no desenho pode ser utilizado.

Passo 1

a)

Vamos utilizar um sistema de coordenadas com x paralelo ao plano e y perpendicular ao plano.

No cubo:

∑ F na direção do plano:

m g sen ⁡ θ - μ C N = m a

∑ F na direção perpendicular ao plano:

N - m g cos ⁡ θ = 0

N = m g cos ⁡ θ

Substituindo na equação anterior:

a = g sen ⁡ θ - μ C cos ⁡ θ

Substituindo os dados:

a = 10 ( 0,866 - 0,3   .   0,5 ) = 7,16   m / s 2

Para o disco:

∑ F na direção do plano:

m g sen ⁡ θ - f a t E = m a C M

Aplicando a lei da rotação temos:

∑ τ = I . α

Lembrando que τ = r . F , a única força que produz torque é a força de atrito estática. Lembrando também que o momento de inércia de um disco é 1 2 m r 2 . Logo:

r . f a t E = 1 2 m r 2 . α

Lembrando também que α = a C M r . Temos

r . f a t E = 1 2 m r 2 . a C M r

f a t E = 1 2 m a C M

Substituindo na equação que encontramos para translação:

m g sen ⁡ θ - 1 2 m a C M = m a C M

a C M = 2 3 g sen ⁡ θ

Substituindo os dados:

a C M = 2 3 . 10   .   0,866 = 5,77   m / s 2

Como a aceleração do cubo é maior que a do disco, ele vai chegar primeiro.

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Resposta

a) O cubo chega primeiro que o disco.

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