Exercícios Resolvidos de Torque

Dinâmica de Rotação

Duas chapas quadradas (1) e (2) de lados iguais têm massas M e 2 M , respectivamente, e estão presas em uma parede vertical pelos seus centros O e O ' , em pinos em torno dos quais podem girar sem atrito. Aplica-se em cada uma delas uma mesma força F → , vertical de baixo para cima, como mostra a figura. A opção que correlaciona os módulos de seus torques τ 1   e τ 2 e suas acelerações angulares α 1 e α 2 imediatamente após a aplicação de F → é:

(a) τ 1 = τ 2   ;   α 1 > α 2

(b) τ 1 = τ 2   ;   α 1 = α 2

(c) τ 1 = τ 2   ;   α 1 < α 2

(d) τ 1 > τ 2   ;   α 1 > α 2

(e) τ 1 < τ 2   ;   α 1 = α 2

Passo 1

O torque de uma força F → aplicada num ponto com vetor posição r → em relação a um eixo é, de maneira geral, dado por:

τ → F = r → × F →

Nessa questão é a mesma força F → que está atuando nos 2 quadrados, e no mesmo lugar. E os quadrados têm as mesmas dimensões então o vetor posição r → do ponto de aplicação das forças é o mesmo pros 2!

Logo,

τ → 1 = τ → 2

Então é claro que os módulos também são os mesmos:

τ 1 = τ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, vamos pra aceleração angular!

O torque resultante τ r e s se relaciona com a aceleração angular da seguinte maneira (em módulo):

τ r e s = I α

Então pras chapas quadradas 1 e 2, temos, respectivamente:

τ 1 = I 1 α 1

τ 2 = I 2 α 2

Vimos que τ 1 = τ 2 , logo:

I 1 α 1 = I 2 α 2

Passo 3

Então fica a pergunta: qual chapa tem o maior momento de inércia em relação ao eixo passando pelo seu centro de massa? A chapa de massa M ou a chapa de massa 2 M ?

É intuitivo pensar que a chapa de maior massa é a que tem maior momento de inércia, mas isso por si só não justifica. Porque se toda a massa de uma chapa estiver concentrada no seu CM, o seu momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CM é nulo, por mais pesada que a chapa seja.

Lembrando que pra calcular o momento de inércia de uma partícula em relação a um eixo, fazemos:

I = m a s s a ⋅ d i s t â n c i a   a o   e i x o 2

Passo 4

Enfim, no nosso caso não tem problema, porque as chapas são idênticas! Então a de maior massa é a que tem o maior momento de inércia mesmo:

I 2 > I 1

Ou seja, pra equação I 1 α 1 = I 2 α 2 ser respeitada, devemos ter:

α 1 > α 2

Resposta

Alternativa (a)

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