Exercícios Resolvidos de Torque

UNICAMP, Física 1, P3 - 2017.2 Diurno, Questão 9

Duas massas, uma com massa m e outra com massa 2 m , estão presas a uma haste rígida horizontal muito leve, como mostrado na Figura 4. Quando o sistema é liberado a partir do repouso, a haste começa a girar em torno de um eixo perpendicular à página com uma aceleração angular de:

A. g 9 l

B. 3 g 7 l

C. g 4 l

D. 3 g 5 l

E. 5 g 7 l

Passo 1

Queremos encontrar a velocidade angular α desse sistema.

Como achamos isso?

Podemos utilizar a relação:

τ R = I α

Que diz que o torque resultante com relação a um eixo será o momento de inércia I do sistema vezes a aceleração angular α , ambos com relação ao mesmo eixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aos torques do sistema.

As duas partículas terão uma força peso apontando para baixo:

O torque resultante τ R será a soma dos torques de cada uma das forças:

τ R = τ P 1 + τ P 2

O torque τ → de um força é dado pelo produto vetorial entre o vetor distância ao centro de rotação r → com o vetor força F → :

τ → = r → × F →

Passo 3

O torque da força peso da partícula 1 é:

τ → P 1 = r → 1 × P → 1

O módulo desse produto vetorial será:

τ P 1 = r 1 P 1 s e n θ

Onde θ é o ângulo entre os os vetores r → 1 e P → 1 .

Como os vetores são perpendiculares, temos um ângulo de 90 ° entre eles:

τ P 1 = r 1 P 1 s e n 90 °

τ P 1 = r 1 P 1 1

Logo, o valor desse torque será o produto dos módulos r 1 e P 1 , sendo esse torque tentando girar o sistema no sentido horário.

Passo 4

O torque da força peso da partícula 2 é:

τ → P 2 = r → 2 × P → 2

O módulo desse produto vetorial será:

τ P 2 = r 2 P 2 s e n θ

Novamente, como os vetores são perpendiculares, temos um ângulo de 90 ° entre eles, logo:

τ P 2 = r 2 P 2

Porém, esse torque torque tenta girar o sistema no sentido anti-horário.

Logo ele terá um sentido oposto ao do torque τ P 1 .

Passo 5

O torque resultante será:

τ R = τ P 1 + τ P 2

τ R = r 1 P 1 - r 2 P 2

Substituindo os valores de distâncias e forças peso, temos:

τ R = l 2 m g - 4 l m g

τ R = - 2 l m g

Como só estamos preocupados com o valor em módulo, podemos tirar esse sinal de menos aí:

τ R = 2 l m g

Passo 6

Agora vamos encontrar o momento de inércia I desse sistema.

Como a haste tem massa desprezível, ela não apresenta momento de inércia, assim, o momento de inércia do sistema será a soma dos momentod de inércia das duas partículas:

I = I p 1 + I p 2

O momento de inércia de uma partícula I p é calculado com:

I p = m d 2

Sendo d a distância da partícula ao eixo.

Assim, temos que:

I = 2 m l 2 + m 4 l 2

I = 2 m l 2 + 16 m l 2

I = 18 m l 2

Passo 7

Agora que já temos tanto o torque resultante τ R como o momento de inércia do sistema I , podemos voltar à nossa expressão inicial:

τ R = I α

2 l m g = 18 m l 2 α

α = 2 l m g 18 m l 2

α = g 9 l

Ficamos com a letra A.

Resposta

Letra A.

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