Exercícios Resolvidos de Torque

UFPE, Física 1, 3º EE - 2015.1, Questão Q5

Questão discursiva.

A figura abaixo mostra duas partículas de massa m 1 = 1   k g e m 2 = 0,5   k g presas às extremidades de uma barra rígida de massa desprezível e comprimento d 1 + d 2 , com d 1 = 0,6   m e d 2 = 1,4   m .

A barra é mantida fixa horizontalmente sobre o ponto O , até ser liberada. A partir de então, a barra pode girar em torno de um eixo que passa pelo ponto O , perpendicular ao plano da página.

Use g = 10   m / s 2 .

  1. Calcule o momento de inérica I do sistema em relação ao referido eixo.
  2. Calcule o módulo do torque resultante τ em relação ao ponto O .
  3. Determine o módulo da aceleração tangencial a t de cada partícula assim que a barra é liberada.

Passo 1

Letra a)

Como a barra tem massa desprezível, ela não contribui para o cálculo do momento de inércia. Ficamos apenas com duas partículas.

I s i s t e m a = i m p a r t ,   i r 2

Onde r é a distância da partícula até o eixo de rotação.

I s i s t e m a = m 1 d 1 2 + m 2 d 2 2 = 1 0,6 2 + 0,5 1,4 2 = 0,36 + 0,98 = 1,34   k g m 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

O torque resultante vai ser a soma dos torques de cada partícula.

τ R = τ 1 + τ 2

A contribuição de cada partícula se deve à sua força gravitacional, e assim:

τ 1 = r 1 × P 1 = m 1 g d 1   k ^

τ 2 = r 2 × P 2 = - m 2 g d 2   k ^

Nas equações, não aparece o seno do ângulo, pois o ângulo é 90 ° e sen 90 ° = 1 . O vetor unitário k ^ é do eixo que passa por O , tendo seu sentido saindo da tela e indo em direção à você, leitor. Por isso o sinal de menos da segunda equação, indicando que a barra giraria no sentido horário.

Assim, em módulo:

τ R = m 1 g d 1 - m 2 g d 2 = 1 10 0,6 - 0,5 10 1,4 = 6 - 7 = - 1   N m

O sinal apenas indica que a rotação seria no sentido horário.

Passo 3

Letra c)

A versão “dinâmica de rotação” da segunda lei de Newton é:

τ R = I s i s t e m a α

Onde α é a aceleração angular, que pode ser relacionada com a aceleração tangencial de cada partícula. Em módulo, temos:

α = 1 1,34   r a d / s 2

Para passar para a aceleração tangencial das partículas, multiplicamos pelas suas distâncias do eixo.

a t .   1 = α r 1 = 1 1,34 0,6 0,448   m / s 2

a t .   2 = α r 2 = 1 1,34 1,4 1 , 0 4 5   m / s 2

Resposta

Letra a)

I s i s t e m a = 1,34   k g m 2

Letra b)

τ R = - 1   N m

Letra c)

a t .   1 0,448   m / s 2

a t .   2 1,045   m / s 2

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