Exercícios Resolvidos de Torque

PUCRIO, Física B - FIS1026, P3 - 2012.2, Questão 1

Seja um corpo rígido composto de uma esfera maciça de massa M 1 = 2,0   k g e raio R 1 = 15   c m , uma esfera oca de massa M 2 = 1,0   k g e raio R 2 = 10   c m , e uma barra fina de massa M 3 = 1,0   k g e comprimento L = 50   c m . Este corpo está sobre uma mesa horizontal e pode girar em torno de um eix vertical fixo que passa no centro da barra, indicado pelo ponto na figura abaixo. Não há atrito com a mesa ou com o eixo de rotação.

a ) Calcule o momento de inércia deste corpo em relação ao eixo indicado.

b ) Sejam duas forças agindo no centro de cada esfera, como mostrado abaixo. Os módulos das forças aplicadas são F 1 = 10   N e F 2 = 20   N . Encontre o módulo da aceleração angular e o sentido da rotação resultante (horário ou anti-horário).

c ) Agora, duas forças agem nas posições indicadas: a força 1 a uma distância L/4 do centro da barra e a força 2 no centro da esfera oca. Os módulos das forças aplicadas são F 1 = 30   N e F 2 = 10   N . Calcule o ângulo θ necessário para que o corpo não apresente movimento rotacional.

Passo 1

a )

Para calcular o momento de inércia do corpo, podemos calcular cada componente separadamente:

I = I m a c i ç a + I b a r r a + I o c a

Considerando o eixo dado, podemos calcular o momento de inércia de cada esfera com o teorema dos eixos paralelos! Tá ligado?

I m a c i ç a = I c m + M . h 2

I m a c i ç a = 2 . M 1 . R 1 2 5 + M 1 . L 2 + R 1 2

Agora é só substituir os valores!

I m a c i ç a = 2 .   2,0   .   0,15 2 5 + 2,0 . 0,5 2 + 0,15 2

I m a c i ç a = 0,338   k g   . m 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o momento de inércia da barra, como ela gira em torno de seu próprio centro de massa, temos:

I b a r r a = M 3 . L 2 12

substituindo os valor, temos:

I b a r r a = 1,0 .   0,5 2 12

I b a r r a = 0,021   k g .   m 2

Passo 3

Vamos para o último componente, a esfera oca! Para calcular seu momento de inércia, também iremos utilizar o teorema dos eixos paralelos, mão na massa!

I o c a = 2 . M 2 . R 2 2 3 + M 2 . L 2 + R 2 2

Substituindo os valores, temos:

I o c a = 2 .   1,0 .   0,1 2 3 + 1,0 .   0,5 2 + 0,10 2

I o c a = 0,129   k g . m 2

Passo 4

Agora é somar todos os componentes!

I = I m a c i ç a + I b a r r a + I o c a

I = 0,338 + 0,021 + 0,129

I = 0,488   k g   .   m 2

Passo 5

b )

Para encontrar o módulo da aceleração, assim como o sentido da rotação, iremos recorrer à segunda Lei de Newton para rotações! Lembra!?

τ r e s u l t a n t e = I . α

No caso do sistema apresentado, temos:

Pela regra da mão direita, podemos determinar que ambos os torques são perpendiculares ao plano de rotação, e por isso que podemos somar os módulos dos torques!

r 1 .   F 1 . cos 30 ° + r 2 .   F 2 . cos 40 ° = I .   α

Agora podemos substituir os valor e achar o módulo da aceleração angular, ainda bem que já calculamos o momento de inércia no item a !

( 0,5 2 + 0,15 ) .   10 . cos 30 ° + ( 0,5 2 + 0,10 ) .   20 . cos 40 ° = 0,488   .   α

α = 3,46 + 5,36 0,488

α = 18   r a d / s 2

Quando usamos a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido do torque, estávamos determinando também, o sentido da rotação. Ou seja a rotação se dá no sentido anti-horário.

Passo 6

c )

Para que o corpo não apresente movimento rotacional, o torque resultante deve ser zero, não é mesmo?!

τ r e s u l t a n t e = 0

Para o sistema mostrado, fica:

r 2 . F 2 . cos 40 ° - r 1 . F 1 . s e n ( θ ) = 0

Opaaa....Por que agora os torques não estão sendo somado?! Calma! Se você usar a regra da mão direita vai ver que apesar de teram a mesma direção, eles possuem sentidos opostos. Ahhh ta!!! Continuando...

( 0,5 2 + 0,10 ) .   10 . cos 40 ° - ( 0,5 4 ) .   30 . s e n ( θ ) = 0

Isolando s e n ( θ ) , temos:

sen θ = 0,715

θ = 45,6 °

Resposta

a )   I = 0,488   k g   .   m 2

b )   α = 18   r a d / s 2 ;   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o

c )   θ = 45,6 °

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