Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2 – Lista 6 – 15

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x , pelo método que achar mais conveniente.

R : y = x 4 + 1 s e - 4 ≤ x < 0 y = 1 - x 2 s e 0 ≤ x < 1 y = 0 s e 1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Essa região na verdade são 3 regiões, cada uma com sua função. Vamos separar em 3 partes.

R 1 : - 4 ≤ x < 0

R 2 : 0 ≤ x ≤ 1

R 3 : 1 ≤ x ≤ 4

E calcular cada volume separado. Vamos ver R

A grande dúvida aqui é qual dos métodos usar. Em todas as regiões temos f x , ou seja, uma função de x que gira em torno do eixo x . Então, vamos usar o método dos discos circulares.

V = ∫ a b π f x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pela região R 1 , os limite são os valores do intervalo, nesse caso - 4 e 0

V 1 = ∫ a b π f x 2 d x = ∫ - 4 0 π x 4 + 1 2 d x

V 1 = π ∫ - 4 0 x 2 16 + 2 x 4 + 1 d x = π x 3 16.3 + x 2 2.2 + x - 4 0 = π 0 - π - 4 3 48 + - 4 2 4 + - 4

V 1 = 0 - π - 4 3 + 4 - 4 = 4 π 3

Passo 3

Vamos para a região R 2 , os limite são os valores do intervalo, nesse caso 0 e 1

V 1 = ∫ a b π f x 2 d x = ∫ 0 1 π 1 - x 2 2 d x

V 2 = π ∫ 0 1 1 - x 2 d x = π x - x 3 3 0 1 = π 1 - 1 3 - π 0

V 2 = π 2 3 - 0 = 2 π 3

Passo 4

O volume da terceira região vai ser zero, porque a função é y = 0 , não tem nada para rotacionar aí

V 3 = 0

Passo 5

Então o volume total vai ser

V = V 1 + V 2 + V 3

V = 4 π 3 + 2 π 3 + 0 = 6 π 3 = 2 π

Resposta

V = 2 π

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