Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Passo 1

Entender o problema. Bora fazer uma figurinha para ver o que que esse cara fez:

Primeiro o capacitor pegou a carga com a bateria. Depois que ele ficou 100 % carregado, a gente mudou a chave de posição e fechou o capacitor em cima do indutor. Isso aí é o clássico circuito LC.

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Passo 2

Letra (a). A própria definição de capacitância nos permite achar quem é a carga inicial desse capacitor:

C . ϵ = Q   p o i s   C = Q ϵ   ( d e f i n i ç ã o )

Pois é. A definição de capacitor pode ser resumida como: quantode carga eu gero entre cada plaquinha para cada unidade de carga que eu boto 1 V a mais ali?

Passo 3

Letra (b). Quando estamos em t = 0 ,toda a carga vai para o capacitor. Toda a energia se dirige a ele. Depois disso, a energia vai pro indutor, volta para o capacitor e fica zanzando de lá pra cá.

O que importa aqui é a energia total e, no instante t = 0 , a energia do capacitor é, de fato, igual a energia total (nem deu tempo ainda de que o indutor pegasse energia).

Então: E T O T A L = E C A P A C I T O R t = 0 = 1 2 . C . ϵ 2

Passo 4

Letra (c). Parte 1. Para saber o que acontece com essa energia, como ela fica zanzando de lá pra cá, a partir do instante inicial, temos que escrever a equação diferencial do circuito. Isso se resume a escrever um conjunto de equações e depois juntar todas elas numa coisa só, numa coisa completa, que descreve tudo, ok?

  1. Equação do capacitor: I C A P A C I T O R = C . d V C A P A C I T O R d t
  2. Equação do indutor: V I N D U T O R = L . d I I N D U T O R d t
  3. Capacitor e indutor estão em série. Logo:
    1. I C A P A C I T O R = I I N D U T O R (a corrente que passar em um é a mesma que passa no outro)
    2. V C A P A C I T O R + V I N D U T O R = 0 (parece meio maluco, mas isso acontece porque não tem nenhuma bateria no circuito L C da figura, depois de girarmos a chave)

Vou aqui escrever as coisas de um jeito mais simplificado beleza? Já estou considerando aqui que as correntes são iguais e os potenciais somam zero, para o capacitor e para o indutor (informação “3”).

  • V C A P A C I T O R = V C = - V I = V
  • V I N D U T O R = V I
  • I I N D U T O R = I C A P A C I T O R = I
  • d V d t = V '
  • d I I N D U T O R d t = I '

Então:

  1. I = C V '
  2. - V = L I '

Substituindo 2 em 1 :

I = C - L I ' = - L C . I ' ' → I + L C . I ' ' = 0

Essa equação descreve as oscilações de corrente. Para descrevermos as oscilações de carga, devemos fazer:

d Q d t = I = Q' → Q ' + L C . Q ' ' ' = 0

Passo 5

Letra (c). Parte 2. Para descrever o comportamento da carga no capacitor, vamos olhar a equação:

Q ' + L C . Q ' ' ' = 0

A carga no capacitor possui a forma:

Q = Q M A X . cos ⁡ ω . t + Φ

Substituindo:

Q 0 . - ω . sen ⁡ ω . t + Φ + ω 3 . L C . cos ⁡ ω . t + Φ = 0

Assim:

ω - 1 + ω 2 . L C = 0 → ω = 1 L C

Como consideramos que, no instante inicial, t = 0 , a carga no capacitor se inicia em seu valor máximo, temos Φ = 0 . Além disso, como visto no passo 1, a carga máxima vale: ϵ Q .

Dessa forma, a carga do capacitor pode ser descrita por:

Q = C . ϵ . cos ⁡ 1 L C . t

Passo 6

Letra (d). A partir do resultado do passo anterior, podemos determinar a corrente elétrica por derivação:

I t = d Q t d t = C . ϵ . 1 L C . - s e n 1 L C . t

Passo 7

Letra (e). Dessa forma, tanto a corrente quanto a carga (e até mesmo as tensões elétricas do capacitor e do indutor) oscilam com frequência angular:

ω = 1 L C

Resposta

  1. C . ϵ
  2. 1 2 . C . ϵ 2
  3. I + L C . I ' ' = 0 e Q ' + L C . Q ' ' ' = 0
  4. I t = d Q t d t = C . ϵ . 1 L C . - s e n 1 L C . t
  5. ω = 1 L C

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