Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

PUCRIO – Física III – Prova 3 – 2015.1 – Questão nº2.

(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.)

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

(SUGESTÃO: Lembre-se da conservação de energia). Use 116 ≈ 11

Passo 1

a ) Uma bateria de f e m constante ε = 10   V é conectada a um indutor L a num circuito R L de malha simples. A resistência equivalente do circuito vale R a . No instante t = 0 em que a bateria é ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada pela função i a t = 5,0 1 - e - 800 t , calcule o valor da indutância L a .

Em um circuito R L , a corrente varia com o tempo de acordo com a função:

i = ε R . 1 - e - R t L

Sabendo isso, o nosso trabalho aqui é comparar a função acima com a função dada pelo problema:

i a t = 5,0 1 - e - 800 t

Daqui podemos tirar que:

ε R a = 5,0 → R a = ε 5 = 10 5

R a = 2   Ω

Além disso:

R a L a = 800 → L a = R a 800 = 2 800

L a = 2,5 × 10 - 3 H = 2,5   m H

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Um capacitor C b = 10 × 10 - 6   F inicialmente t = 0 carregado com 6,0   μ C , é conectado a um indutor L b = 4 × 10 - 3   H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente deste circuito R L C de malha simples vale R b = 32   Ω . Encontre a expressão da carga no capacitor em função do tempo, q b t .

Em um circuito R L C , a carga varia com o tempo de acordo com a função:

q t = Q ⋅ e - R b . t 2 . L b ⋅ cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Onde ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 , lembrando que ω = 1 L b C b .

Então, logo de cara, já podemos calcular algumas coisas?

R b 2 L b = 32 2 × 4 × 10 - 3 = 4000 s - 1

ω = 1 L b C b = 1 4 × 10 - 3 × 10 × 10 - 6 = 1 4 × 10 - 8 = 1 2 × 10 - 4

ω = 5000   r a d / s

ω ' = ω 2 - R b 2 L b 2 = 5000 2 - 4000 2 = 25 × 10 6 - 16 × 10 6 = 9 × 10 6

ω ' = 3000   r a d / s

Substituindo esses caras na expressão de q t , teremos:

q t = Q ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ ( 3000 t + ϕ )

Para descobrir os valores de Q e ϕ , teremos que usar as condições iniciais do problema.

Passo 3

De acordo com o enunciado, q 0 = 6,0 μ C = 6 × 10 - 6 C e i 0 = 0 . Então vamos utilizar essas informações pra descobrir os valores de Q e ϕ , ok?

6 × 10 - 6 = Q cos ⁡ ϕ

Além disso:

i = d q d t → i t = - Q e - 4000 t 4000 cos ⁡ 3000 t + ϕ + 3000 sen ⁡ 3000 t + ϕ

i 0 = 0

0 = - Q 4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 sen ⁡ ϕ = 0

Utilizando a igualdade trigonométrica sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 → sen ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ , teremos:

4000 cos ⁡ ϕ + 3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = 0

3000 1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4000 3000 cos ⁡ ϕ

1 - cos 2 ⁡ ϕ = - 4 3 cos ⁡ ϕ

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - cos 2 ⁡ ϕ = 16 9 cos 2 ⁡ ϕ

cos 2 ⁡ ϕ + 16 9 cos 2 ⁡ ϕ = 1

25 9 cos 2 ⁡ ϕ = 1 → cos 2 ⁡ ϕ = 9 25

Finalmente:

c o s ϕ = 3 5 → ϕ = cos - 1 ⁡ 3 5

Voltando para a primeira condição de contorno, teremos:

6 × 10 - 6 = Q cos ⁡ ϕ

6 × 10 - 6 = 3 5 Q → Q = 5 3 × 6 × 10 - 6

Q = 10 × 10 - 6 C = 10 μ C

Substituindo Q e ϕ na expressão de q t , teremos:

q t = 10 ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ 3000 t + cos - 1 ⁡ 3 5 μ C

Passo 4

c ) O circuito oscilante L C da figura possui resistência desprezível. O capacitor vale C = 10 × 10 - 3   F e, em t = 0 , possui carga q 0 = 4,0 × 10 - 3 C . O indutor, também em t = 0 , possui energia U L 0 = 5 × 10 - 3 J e está sendo atravessado pela corrente i 0 com o sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima q m á x no capacitor.

A energia total do circuito será a soma das energias do indutor e do capacitor, logo:

U t o t a l = U L 0 + U C 0

Onde U C 0 = q 2 0 / 2 C .

U t o t a l = U L 0 + q 2 0 2 C

U t o t a l = 5 × 10 - 3 + 4,0 × 10 - 3 2 2 × 10 × 10 - 3

U t o t a l = 5 × 10 - 3 + 16 × 10 - 6 20 × 10 - 3 = 5 × 10 - 3 + 0,8 × 10 - 3

U t o t a l = 5,8 × 10 - 3   J

O capacitor terá carga máxima quando toda a energia do circuito estiver armazenada nele, logo:

U t o t a l = q m á x 2 2 C → q m á x = 2 C U t o t a l

Finalmente:

q m á x = 2 × 10 × 10 - 3 × 5,8 × 10 - 3

q m á x = 116 × 10 - 6

q m á x ≈ 11 × 10 - 3 C

Resposta

a )

L a = 2,5   m H

b )

q t = 10 ⋅ e - 4000 t ⋅ cos ⁡ 3000 t + cos - 1 ⁡ 3 5 μ C

c )

q m á x ≈ 11 × 10 - 3 C

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