Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos CA

Considere o circuito da figura 1 , onde ε = 10   V , R 1 = 9 Ω , R 2 = 10 Ω , o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. O circuito é operado nas seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Durante a fase 2 , a d.d.p. V A - V B em função do tempo corresponde ao gráfico da figura 2 , na qual a escala de tempo no eixo horizontal está expressa em segundos. Supondo que a frequência angular da oscilação amortecida ω ' possa ser aproximada pela da oscilação livre sem amortecimento ω o , determine:

a ) O valor da resistência r .

b ) O valor da corrente no indutor no final da fase 1 .

c ) O valor da capacitância C e da indutância L .

d ) A energia dissipada na resistência r na fase 2 .

Passo 1

a )

Para determinar a resistência r , devemos pensar no fim da fase 1 , pois nesse momento, o indutor se comporta como um fio qualquer e a corrente no resistor é máxima, ou seja, temos:

V = R . i

ε = R 1 + r . i m á x

i m á x = ε R 1 + r

Já no início da fase 2 , também temos a mesma corrente máxima, só que agora, nos foi fornecida a diferença de potencial nos terminais do resistor r para esse instante, V = 1   V , temos então:

V = r . i m á x

Substituindo o valor de i m á x , temos:

1 = r . ε R 1 + r

Substituindo os valores conhecidos:

1 = r . 10 9 + r

r = 1   Ω

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

No fim da fase 1 , o indutor se comporta como um fio qualquer, e nós já sabemos que a corrente nesse instante é máxima, portanto:

i m á x = ε R 1 + r

i m á x = 10 9 + 1

i m á x = 1   A

Passo 3

c )

Para determinar o valor da capacitância e da indutância, devemos analisar como varia a corrente em função do tempo para um circuito RLC, temos que a corrente varia da seguinte forma:

i = i m á x . e - R . t 2 . L . cos ⁡ ω . t

Pelo gráfico dado, vemos que o expoente da função exponencial é:

- R . t 2 . L = - 10 3 . t

Isolando o valor da indutância, temos:

L = R 2 × 10 3

Substituindo o valor da resistência, temos:

L = 1 2 × 10 3 = 5 × 10 - 4   H

Para determinar o valor da capacitância, vamos usar o fato de que a oscilação amortecida pode ser aproximada para uma oscilação livre, onde ω = 1 / L . C . Pelo gráfico, vemos que o período de oscilação é:

T = 2 . π × 10 - 6   s

Ou seja:

ω = 2 . π T = 2 . π 2 . π × 10 - 6 = 10 6   r a d / s

Substituindo para achar a capacitância:

  ω = 1 L . C

10 6 = 1 5 × 10 - 4 . C

C = 2 × 10 - 9   F

Passo 4

d )

Para determinar a energia dissipada na resistência r durante a fase dois, devemos calcular a energia armazenada no indutor durante a fase 1 . Como o capacitor está inicialmente descarregado, somente a energia armazenada no indutor será dissipada no resistor, vamos calcular isso:

U = L . I 2 2

U = 5 × 10 - 4 . 1 2 2 = 2,5 × 10 - 4   J

Resposta

a )   r = 1   Ω

b )   i m á x = 1   A

c )   L = 5 × 10 - 4   H ; C = 2 × 10 - 9   F

d )   U = 2,5 × 10 - 4   J

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