Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos RC, Circuitos RL, Circuitos CA, Capacitores e Dielétricos, Indutância

Considere o circuito ao lado com ε = 50   V , L = 10   H , C = 20   μ F , R 1 = 25   Ω e R 2 = 5000   Ω . O capacitor C está inicialmente descarregado.

A chave S é fechada para t = 0 , produzindo uma corrente i L que passa através do ramo do indutor e uma corrente i C que passa através do ramo do capacitor.

a ) Calcule o valor de i L e i C no instante t = 0   s e o valor de i L e i C após um tempo t muito grande após o fechamento da chave S .

b ) Escreva (indicando os valores) o comportamento das correntes i L e i C em função do tempo (a partir de t = 0   s ), levando em conta as diferentes constantes de tempo de cada ramo. Faça um gráfico destas correntes.

c ) Após um tempo muito longo, a chave S é aberta de novo. Desenhe o gráfico do comportamento de V C em função do tempo a partir da abertura de S .

d ) Qual é o valor da energia total dissipada nos dois resistores R 1 e R 2 ?

Passo 1

a ) Calcule o valor de i L e i C no instante t = 0   s e o valor de i L e i C após um tempo t muito grande após o fechamento da chave S .

  • t = 0 :
  • No instante inicial, o indutor funciona como se o circuito aberto e o capacitor funciona como curto circuito, logo:

    i L = 0

    i C = ε R 2 = 50 5000 → i C = 0,01 A  

  • t → ∞ :
  • Após um intervalo de tempo muito grande, os dois têm comportamentos opostos. O indutor funciona como curto circuito, e o capacitor funciona como circuito aberto.

    i L = ε R 1 = 50 25 → i L = 2   A

    i C = 0

    Passo 2

    b ) Escreva (indicando os valores) o comportamento das correntes i L e i C em função do tempo (a partir de t = 0   s ), levando em conta as diferentes constantes de tempo de cada ramo. Faça um gráfico destas correntes.

    A malha com os elementos ε , R 1 e L é um circuito R L . Nele, a corrente no indutor varia de acordo com a equação:

    i L = ε R 1 . 1 - e - R 1 t L

    E a malha com os elementos ε , R 2 e C é um circuito R C onde a carga do capacitor, durante o seu carregamento, obedece a seguinte equação:

    q C = C ε 1 - e - t R 2 C

    Assim, a corrente através do capacitor será dada por:

    i C = d q C d t

    i C = ε R 2 e - t R 2 C

    Passo 3

    c ) Após um tempo muito longo, a chave S é aberta de novo. Desenhe o gráfico do comportamento de V C em função do tempo a partir da abertura de S .

    Após um tempo muito longo, o capacitor estará completamente carregado e, quando a chave S for aberta, os elementos ε , R 1 , R 2 , C e L formarão um circuito R L C .

    De acordo com a lei das malhas, teríamos:

    L d I t d t + R e q I t + q t C = 0

    Onde I t = d q ( t ) / d t .

    d 2 q t d t 2 + R e q L d q t d t + q t L C = 0

    Essa função lembra bastante a equação para um oscilador amortecido, que você já deve ter visto em algum momento da sua vida.

    Pois bem, aqui, a função q t terá a mesma cara. E como:

    V C = q t C

    A tensão no capacitor será uma função oscilatória amortecida. Resumidamente, ela vai ter essa cara:

    Obs.: Como o capacitor está carregado quando a chave é aberta, a tensão no capacitor V C em t = 0 é máxima.

    Passo 4

    d ) Qual é o valor da energia total dissipada nos dois resistores R 1 e R 2 ?

    Nesse circuito, apenas R 1 e R 2 dissipam a energia do sistema. Assim, a energia total dissipada pelos resistores deve ser igual à energia armazenada no indutor e no capacitor.

    Logo:

    U T = U L + U C

    U T = L I m á x 2 2 + C ε 2 2

    Onde a corrente máxima no indutor será I m á x = i L ∞ .

    U T = L i L 2 ∞ 2 + C ε 2 2

    Sabendo que ε = 50   V , L = 10   H , C = 20   μ F = 20 × 10 - 6 F e i L ∞ = 2   A e substituindo os valores, teremos:

    U T = 10 × 2 2 2 + 20 × 10 - 6 × 50 2 2

    U T = 20 + 0,025

    U T = 20,025   J

    Resposta

    a )

  • t = 0 :
  • i L = 0

    i C = 0,01 A  

  • t → ∞ :

i L = 2   A

i C = 0

b )

i L = ε R 1 . 1 - e - R 1 t L

i C = ε R 2 e - t R 2 C

c )

d )

U T = 20,025   J

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