Medidas realizadas no circuito R L C em série mostrado na Figura 1 revelaram que ε t = ε M sin ⁡ ω t e i t = i M sin ⁡ ω t - φ , ε M = 100   V , ω = 1000   r a d / s , i M   =   5   A e φ = - π / 4   r a d . Adicionalmente, sabe-se que apenas uma das relações é verdadeira: V L M = 2   V C M ou V C M = 2 V L M .

(a) (0,5) Indique, justificando, a relação verdadeira.

(b) (1,0) Represente o diagrama fasorial para o circuito, de tal forma que os fasores correspondentes a tensões ( d d p s ) estejam em escala e que o fasor corrente, a defasagem φ entre a corrente e a fem estejam representados.

(c) (1,0) Determine os valores de R , L e C .

(d) (0,5) Apresente expressões completas para v R ( t ) , v L ( t ) e v C ( t ) .

(e) (0,5) O indutor é trocado por outro, com indutância igual a 100   m H . Os seguintes elementos do circuito permanecem inalterados:   ε M , ω e R . Determine a nova capacitância que torna o circuito ressonante, assim como o novo valor de i M .

Passo 1

L e t r a   A :

Cara, sabemos pela Teoria que o ângulo φ em um circuito R L C em corrente alternada...

É de tal maneira que...

φ = arctan ⁡ V L M - V C M V R M

Onde V são as tensões máximas em cima de cada item.

Ou ainda, extraindo a tangente de ambos os lados...

V L M - V C M V R M = tan ⁡ φ   →

Como φ = - π / 4   r a d (ou - 45 ° ) a tangente dele vai ser igual a - 1 ...

V L M - V C M V R M = - 1   →

Como todas essas tensões máximas (ou tensões de pico) são positivas, para gerar um valor negativo nessa divisão só pode que V C M = 2 V L M , assim...

- V L C V R M = - 1

E aí faz sentido a equação .

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, a gente sempre começa um diagrama fasorial representando a corrente máxima do circuito i M   =   5   A e a f e m máxima ε M = 100   V ...

Sendo que o ângulo φ entre ambos os fasores é sempre o ângulo de defasagem entre a corrente a f e m . No caso, como o enunciado nos disse que φ = - 45 ° , isso significa que a corrente deve estar na frente da tensão (como já representado). Isso também caracteriza um circuito mais capacitivo, por isso a tensão em cima do capacitor é maior, ta ligado?

Enfim, continuando, agora é hora de colocar a tensão em cima do resistor V R M que tem que estar em cima da corrente e deve ser a projeção da f e m ...

Além disso, como a máxima tensão em cima da f e m tem que ser igual a soma vetorial... ε M = V R M + V L C - V C M , então concluímos que...

Como o problema nos deu a informação adicional de que V C M = 2 V L C , e a tensão do indutor V L M   está sempre avante a corrente de 90 ° e V C M está sempre atrás da corrente de 90 ° ...

Concluímos que esse é o diagrama fasorial do problema e está em escala

Passo 3

L e t r a   C :

Pelo diagrama fasorial acima podemos falar que...

V R M = ε M cos ⁡ 45 °   →

V R M = 100 2 2   →

V R M = 50 2   V

Além disso, também sabemos que pela Lei de Ohm...

V R M = R ⋅ i M

Como a corrente i M = 5   A ...

50 2 = R ⋅ 5     →

R = 10 2   Ω

Passo 4

Agora, para encontrar os valores de L e C , temos primeiro que determinar V L M e V C M . Pelo diagrama Fasorial...

Então...

V L M - V C M = ε M sin ⁡ 45 °     →

V L M - V C M = 100 2 2     →

V L M - V C M = 50 2

Só que pelo enunciado V C M = 2 V L M ...

V L M - 2 V L M = 50 2   →

V L M = - 50 2   →

Ou em módulo...

V L M = 50 2

E o V C M ...

V C M = 100 2

Pela teoria, sabemos que o equivalente da Lei de Ohm para o indutor é...

V L M = L ω i M   →

50 2 = L   100 5     →

L = 2 10   H

E para a capacitância C ...

V C M = 1 C ω i M   →

C = 1 V C M ω i M   →

C = 1 100 2 ⋅ 100 5   →

C = 1 2000 2   F

Passo 5

L e t r a   D :

Bem, pela análise do diagrama fasorial...

Veja que a tensão do resistor está bem em cima da corrente, então a tensão em cima do resistor vai variar conforme sin ⁡ ω t - φ ...

v R t = V R M sin ⁡ ω t - φ

Para o indutor e o capacitor basta somar e subtrair 90 ° (ou π / 2 ), mas lembre-se que o indutor está na frente da corrente por 90 ° então ele é o que soma...

v L t = V L M sin ⁡ ω t - φ + π 2

v C t = V C M sin ⁡ ω t - φ - π 2

Como todos esses dados já forma encontrados...

v R t = 50 2 sin ⁡ 100 t - π 4   V

v L t = 50 2 sin ⁡ 100 t - π 4 + π 2   V

v C t = 100 2 sin ⁡ 100 t - π 4 - π 2   V

Simplificando esses dois últimos...

v R t = 50 2 sin ⁡ 100 t - π 4   V

v L t = 50 2 sin ⁡ 100 t + π 4   V

v C t = 100 2 sin ⁡ 100 t - 3 π 4   V

Passo 6

L e t r a   E :

Cara... Para um circuito Ressonante, temos que ter...

V L M = V C M

Daí...

L ω 0 i M = 1 C ω 0 i M   →

L ω 0 = 1 C ω 0   →

Onde ω 0 é a frequência de ressonância. Como o problema nos pediu para encontrar o valor da capacitância C capaz de tornar o sistema ressonante sabendo que ω 0 = ω = 100   r a d / s permaneceu o mesmo, basta isolar...

C = 1 L ω 0 2

O problema nos disse que a indutância nova trocada foi para L = 100   m H ou ainda 100 ⋅ 10 - 3 H ...

C = 1 100 ⋅ 10 - 3 100 2   →

C = 1 10 - 3 100 3   →

Como 100 = 10 2 ...

C = 1 10 - 3 10 2 3   →

C = 1 10 - 3 10 6   →

C = 1 10 3 = 10 - 3   F

Ou ainda, a nova capacitância tem que ser C = 1 m F .

Passo 7

Também temos que encontrar o novo valor de i M . Como o circuito é ressonante, significa que a corrente está em fase com a f e m , isto é φ agora é φ = 0 (a corrente e a tensão estão juntas). Como...

ε M = R i M cos ⁡ φ   →

ε M = R i M cos ⁡ 0   →

ε M = R i M   →

Então...

i M = ε M R

Esses dois parâmetros permanecem inalterados, então...

i M = 100 10 2     →

i M = 10 2 = 5   2 A

Resposta

Letra A:

V C M = 2 V L C

Letra B:

Letra C:

R = 10 2   Ω

L = 2 10   H

C = 1 2000 2   F

Letra D:

v R t = 50 2 sin ⁡ 100 t - π 4   V

v L t = 50 2 sin ⁡ 100 t + π 4   V

v C t = 100 2 sin ⁡ 100 t - 3 π 4   V

Letra E:

C = 1   m F       e       i M = 5   2 A

Exercícios de Livros Relacionados

Um indutor é ligado a um capacitor cuja capacitância pode ser ajustada através de um botão. Queremos que a frequência deste circuito LC varie linearmente com o ângulo de rotação do botão, de 2 × 10 5
Se a tensão rms em um circuito ac é duplicada, a tensão de pico é a duplicada. b reduzida a metade. c aumentada por um fator 2 . d permanece inalterada.
Considere que você aumenta a taxa de rotação da bobina no gerador mostrado no circuito simples na figura 29 - 29 . Então, a corrente rms a aumenta b não varia c pode aumentar ou diminuir dependendo da
35- ( a ) Aplicando as equações ( 30.21 ) e ( 30.23 ) para um circuito L - C , escreva expressões para a energia armazenada em um capacitor em função do tempo e para a energia armazenada em um indutor
37- Mostre que sqrt(L C) possui unidades de tempo.