Um “dimmer” é um dispositivo que permite variar a intensidade luminosa de uma lâmpada. Estes dispositivos são compostos por uma bobina de indutância L variável em série com uma lâmpada (Figura 1). A lâmpada é o elemento resistivo do circuito. O valor da indutância da bobina pode assumir qualquer valor entre L = 0   H e L = 0,5   H .

O circuito da Figura 1 é alimentado por um gerador alternado com uma f.e.m. eficaz ε e f f = ε r m s   =   ε q m = 100   V e uma frequência angular ω = 50   r a d / s . Considere que a potência média dissipada pela lâmpada não pode exceder 1000   W e que a sua resistência elétrica é constante (não varia nem com a temperatura nem com outros fatores).

a) Calcule qual deve ser o valor mínimo da indutância L no intervalo fornecido para que a potência média dissipada na lâmpada seja máxima ( 1000   W ) . Calcule também o valor da resistência R da lâmpada.

b) Calcule qual deve ser o valor da indutância L para que a potência média dissipada pela lâmpada seja 200   W .

c) Se no lugar do gerador de f.e.m. alternada fosse inserida uma bateria de corrente continua E 0 , qual deveria ser o valor da tensão E 0 para que, decorrido um tempo muito longo, a potência dissipada na lâmpada fosse de 1000   W ?

Considere novamente o circuito da Figura 1. Agora a lâmpada é substituída por um resistor R   =   10   Ω e no circuito é inserido em série um capacitor C   =   10 - 2   F .

d) (0,5) Considerando que a indutância L   possui o valor máximo calculado no item (b) desenhe o diagrama de fasores do circuito. A corrente que passa no circuito está adiantada ou atrasada em relação à tensão do gerador?

e) (1,0) Variando o valor da indutância L entre os limites permitidos, L   =   0   H e L   =   0,5   H , é possível fazer com que o circuito entre em ressonância? No caso de resposta negativa, justifique. No caso de resposta afirmativa, calcule o valor de L para que isso aconteça.

Passo 1

L e t r a   A :

POW! Trata-se de um circuito R L , pois a lâmpada é um elemento Resistivo e temos a presença de um indutor então...

Sabemos que a potência só pode ser dissipada pelo elemento resistivo, no caso a lâmpada. A potência dissipada P pode ser dada pela teoria por...

P = R   I e f f 2

Onde I e f f é a corrente eficaz que circula no circuito. Queremos que a potência consumida pela lâmpada seja a máxima possível ( 1000   W ), e para isso precisamos que a corrente eficaz seja a máxima possível também. Vamos ver como a gente faz isso?

Passo 2

A corrente eficaz, pode ser dado pela Lei de Ohm...

I e f f = ε e f f Z

Onde Z é a impedância do circuito. Para um circuito R L C no geral essa impedância é dada por...

Z = R 2 + ω L - 1 ω C 2

Mas como se trata de um circuito R L ...

Z = R 2 + ω L 2   →

Z = R 2 + ω 2 L 2  

Então...

I e f f = ε e f f R 2 + ω 2 L 2

Então veja que a gente só consegue uma corrente máxima se L for mínimo possível. Como L varia de 0 até 0,5   H , podemos dizer que a potência máxima então é atingida se L = 0 , ou seja Z = R ...

I e f f = ε e f f R

Logo...

P = R   ε e f f 2 R 2

Como a potência é máxima nesse caso ( 1000   W )...

P = ε e f f 2 R   →

R = ε e f f 2 P   →

R = 100 2 1000 = 10 Ω

Essa então é a resistência da lâmpada.

Passo 3

L e t r a   B :

Para resolver esse problema, devemos apenas brincar um pouco com as equações da potência...

P = R   I e f f 2

E a Lei de Ohm...

I e f f = ε e f f Z           o n d e           Z = R 2 + ω 2 L 2

Queremos uma potência média de 200   W ...

200 = 10   I e f f 2     →

I e f f = 20     A

Mas...

20 = ε e f f Z       →

Z = 100 20

Então...

R 2 + ω 2 L 2 = 100 20

Elevando todo mundo ao quadrado...

R 2 + ω 2 L 2 = 100 2 20

E sabendo que os valores de R = 10 Ω e ω = 50   r a d / s

10 2 + 50 2 L 2 = 10000 20 →

50 2 L 2 = 1000 2 - 10 2   →

L 2 = 500 - 100 50 2   →

L = 400 50 2 = 20 50   →

L = 0,4   H

Passo 4

L e t r a   C :

POW! Se no lugar da f e m a gente inserisse uma bateria de corrente contínua...

Após um longo período de tempo, independente da indutância L , o indutor viraria um curto circuito, isto é, um cabo...

E aí, a potência dissipada na lâmpada seria simplesmente...

P = E 0 2 R

Para atingir 1000   W , sabendo que R = 10 Ω ...

1000 ⋅ 10 = E 0 2   →

E 0 = 10000 = 100 V

Ou seja, a bateria deveria ter uma tensão de 100   V , ta ligado?

Passo 5

L e t r a   D :

Agora, a gente troca alampada por uma resistência de R = 10   Ω e insere em série um capacitor C = 10 - 2   F

E o problema pede para consideramos L = 0,4   H . A partir daqui temos que construir o diagrama de fases desse circuito. Para isso, antes de sairmos desenhando o diagrama feito louco, vamos encontrar alguns dados que todo precisa ter:

OBS: Vamos considerar que a corrente do circuito seja I M e ela é sempre comum a todos os elementos de um circuito R L C série.

  • Tensão em cima do resistor: a tensão em cima do resistor V R ela deve estar em fase com a corrente do circuito I M então...
  • V R = R I M = 10   I M

  • Tensão em cima do indutor V L ...

V L = ω L   I M

V L = 50 ⋅ 0,4   I M

V L = 20   I M

  • Tensão em cima do capacitor V C ...

V C = 1 ω C I M

V C = 1 50 ⋅ 10 - 2 I M

V C = 2 I M

POW! Veja que V L > V C , o que significa que a corrente I M deve estar atrasada em relação à tensão da fonte ε M e o ângulo entre I M e ε M é φ (ângulo de fase).

Para construir o diagrama de fases, lembre-se de que a tensão do indutor sempre está avante a corrente I M por 90 ° enquanto que a tensão do campacitor V C está sempre atrás por 90 ° ...

Passo 6

L e t r a   E :

Um sistema entra em ressonância se ω frequência do sistema ( 50   r a d / s ) for igual a frequência angular natural ω 0 de um circuito R L C tal que...

ω 0 = 1 L C

Ou seja...

1 L C = 50

Como C = 10 - 2   F precisaríamos que L fosse...

1 L ⋅ 10 - 2 = 50

1 10 - 1 L = 50   →

1 L = 50 ⋅ 10 - 1   →

1 L = 5   →

Invertendo e isolando L ...

L = 1 5     →

L = 1 25 = 0,04   H

Que é um valor que está entre L = 0 e L = 0,4   H , então de fato podemos chegar a ressonância variando L .

Resposta

Letra A:

R = 10 Ω

Letra B:

L = 0,4   H

Letra C:

E 0 = 100 V

Letra D:

Letra E:

L = 0,04   H

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