Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Passo 1

Letra (a). O período de oscilação de um circuito L C na ressonância é encontrado quando igualamos as reatâncias capacitivas e indutivas:

X C = X L → 1 ω . C = ω . L → ω 2 = 1 L C → ω = 2 . π . f = 1 L C

f = 1 2 . π . 1 L C

T = 2 π L C

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Passo 2

Letra (b). A ideia é entender que tanto a corrente quanto a carga podem ser expressas em termos de uma função senoidal, oscilatória:

q t = Q M A X . cos ⁡ ω . t + Φ → q 0 = Q M A X . c o s ⁡ ( Φ )

Então:

i t = d q d t = Q M A X . ω . - s e n ω . t + Φ → i 0 = Q M a x . ω . - s e n Φ → i 0 = - I M A X . s e n ( Φ )

Dessa forma:

i 0 q ( 0 ) = - Q M A X . ω Q M A X . t g Φ = - ω . t g Φ → t g Φ = - I 0 Q 0 . ω = - L C . I 0 Q 0

Passo 3

Letra (c). A soma da energia do capacitor com o indutor em qualquer instante fornece a energia total. Essa energia se distribui de maneira cíclica entre esses dois elementos.

E T O T A L = E C + E L = 1 2 . C V 2 + 1 2 L I 2

Agora é fazer algumas substituições malandras para expressarmos as coisas em função das variáveis que o problema pediu:

C V = Q

V = Q / C

Logo:

C V 2 = Q 2 C → 1 2 C V 2 = Q 2 2 C

Somando isso com a energia do indutor:

E T O T A L = Q 2 2 C + L I 2 2 = Q M A X . cos ⁡ ω . t + Φ 2 2 . C + L 2 . Q M A X . ω . - s e n ω . t + Φ 2

No instante t = 0 :

E T O T A L = Q M A X . cos ⁡ Φ 2 2 . C + L 2 . Q M A X . ω . - s e n Φ 2

E T O T A L = Q M A X 2 2 . cos ⁡ Φ 2 C + L . ω 2 . s e n 2 Φ

Mas, lembrando:

q 0 = Q 0 = Q M A X . c o s ⁡ ( Φ )

Q M A X = Q 0 cos ⁡ Φ

Substituindo ω 2 = 1 / L C :

E T O T A L = Q 0 2 2 . cos ⁡ Φ 2 . cos ⁡ Φ 2 C + L L C . s e n 2 Φ

E T O T A L = Q 0 2 2 . 1 C + 1 C . ω 2 . tan 2 ⁡ Φ = Q 0 2 2 C . 1 + tan 2 ⁡ Φ

Resposta

Letra (a)

f = 1 2 . π . 1 L C

Letra (b)

t g Φ = - I 0 Q 0 . ω = - L C . I 0 Q 0

Letra (c)

Q 0 2 2 C . 1 + tan 2 ⁡ Φ

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