Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuito CA

Em um circuito LC, no qual C = 4,0   μF , a diferença de potencial máxima através do capacitor durante as oscilações é de 1,25   V e a corrente máxima através do indutor é de 50   mA .

Encontre:

  1. A indutância do indutor;
  2. A frequência das oscilações;
  3. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;

Passo 1

  1. A indutância do indutor;
  2. Em um circuito L C , toda a energia armazenada é dada por:

    U = Q 2 2 C + L I 2 2

    Onde o primeiro corresponde à parcela de energia armazenada no capacitor e o segundo corresponde à parcela de energia armazenada no indutor.

    O que acontece aqui é que quando a carga no capacitor é máxima, a corrente é nula. E quando a corrente no indutor é máxima, a carga no capacitor é nula.

    Assim, usando a equação acima e partindo do princípio que toda a energia do circuito se conserva, podemos associar a carga máxima Q m com a corrente máxima I m por:

    Q m 2 2 C = L I m 2 2

    L = Q m 2 I m 2 C

    O problema nos deu a corrente máxima I m e a capacitância C . Para descobrir a carga máxima Q m , usaremos a diferença de potencial máxima no capacitor, dada pelo problema.

    Passo 2

    V m = Q m C

    Q m = V m C

    Onde C = 4,0   μF = 4,0 × 10 - 6   F e V m = 1,25   V .

    Q m = 1,25 × 4 × 10 - 6 = 5 × 10 - 6   C

    Q m = 5,0   μC

    Voltando ao problema, agora podemos calcular a indutância. Onde I m = 50   mA = 0,05   A

    L = Q m 2 I m 2 C

    L = 5 × 10 - 6 2 0,05 2 × 4 × 10 - 6

    L = 2,5 × 10 - 3   H

    L = 2,5   mH

    Passo 3

  3. A frequência das oscilações;
  4. Para um circuito L C , a frequência das oscilações é dada por:

    ω = 1 L C

    Agora é só ser feliz.

    C = 4,0 × 10 - 6   F

    L = 2,5 × 10 - 3   H

    ω = 1 2,5 × 10 - 3 × 4,0 × 10 - 6

    ω = 10 4   rad/s

    Passo 4

  5. O tempo para que a carga do capacitor cresça de zero até seu valor máximo;

A carga do capacitor vai oscilar com frequência ω .

Podemos associar ω com o período da oscilação através da relação:

ω = 2 π T

T = 2 π ω

Vamos imaginar que, inicialmente, a carga no capacitor é máxima.

Quando Δ t = T , a carga do capacitor final vai ser igual à inicial, máxima... ou seja, Δ Q = 0 .

Quando Δ t = T / 2 , a carga final do capacitor vai ser a carga mínima... ou seja, Δ Q = - 2 Q m .

Quando Δ t = T 4 , a carga final do capacitor vai ser igual a zero... ou seja, Δ Q = - Q m . Este é exatamente o caso do problema, onde a variação da carga, em módulo é Δ Q = Q m . Isso acontece quando Δ t = T / 4 .

Δ t = T 4 = 2 π 4 ω

Δ t = π 2 ω

Δ t ≅ 1,57 × 10 - 4   s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a.

L = 2,5   mH

b.

ω = 10 4   rad/s

c.

Δ t ≅ 1,57 × 10 - 4   s

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