Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Puc - Física 3 – P3 2018.2 - 3

No circuito da figura, L = 200   m H , R = 10   Ω e o capacitor é de um tipo variável, com uma capacitância C ajustável de 0,5   m F a 5   m F . O circuito é conectado a um gerado com ε t = ε M sen ⁡ ω t   ( ω = 100   r a d / s ) , onde ε M = 50   V .

Nestas condições:

  1. Calcule o valor que C deve assumir para se ter um fator de potência igual a cos ⁡   ϕ = 2 2 .
  2. Calcule a amplitude I M da corrente.
  3. Calcule as amplitudes das tensões V R M , V L M e V C M .
  4. Desenhe o diagrama de f a s o r e s .
  5. Para colocar o circuito em condição de ressonância, você deve mudar o valor do capacitor:

  6. Calcule o novo valor de C para obter a condição de ressonância do circuito e, nesta condição, calcule os valores da potência média dissipada em R e da potência média fornecida ao circuito pelo gerador.

Passo 1

a) Como cos ⁡ ϕ = 2 2 , então ϕ = π 4 . Agora, temos a seguinte relação para a tangente de ϕ

tan ⁡ ϕ = 1 = X L - X C R = ω 2 L C - 1 ω R C   .

Como temos os valores para ω , L e R , podemos utilizar essa equação para obter C

C = 1   m F   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A amplitude da corrente é dada por

I m = ε M Z   ,

em que Z é a impedância e tem a seguinte expressão:

Z = X C - X L 2 + R 2     .

Dados os valores fornecidos no enunciado e o valor da capacitância C que acabamos de encontrar, as impedâncias capacitiva e indutiva serão dados por

X C = 1 ω C = 10   Ω     ;     X L = ω L = 20   Ω   .

Substituindo em Z , obteremos

Z = 10 2 + 10 2 = 10 2   .

A amplitude I m da corrente será

I m = 50 10 2 = 5 2 2 A   .

Passo 3

c) No resistor, a amplitude de tensão será

V R M = R I m = 25 2   V   ;

No capacitor

V C M = X C I m = 25 2   V   ;

No indutor

V L M = X L I m = 50 2   V   .

Passo 4

d) Para desenharmos os f a s o r e s , precisamos nos lembrar que a corrente no resistor está em fase com a corrente; a corrente no capacitor está atrasada de π 2 e a corrente no indutor adiantada de π 2 .

Além disso, a corrente está atrasada de um ângulo igual a π / 4 em relação à tensão ε . Por isso, teremos a seguinte representação:

Passo 5

e) Para que o circuito entre em ressonância, temos que ter

X C = X L     ⇒     1 ω C = ω L     ,

ou seja, a impedância capacitiva é igual impedância indutiva.

Agora, como o problema já deu pra gente a frequência angular ω = 100   r a d / s e o valor da indutância L = 200   m H = 200 × 10 - 3   H = 0,2   H , então a nova capacitância será dada por

⇒     C = 1 ω 2 L = 0,5   m F   .

Na ressonância ( X C = X L ), temos que a impedância Z é dada por

Z = X C - X L 2 + R 2 = R   .

Por isso, para esse caso, temos que a amplitude I m da corrente no circuito será igual a

I m = ε M Z = ε M R = 50 10 = 5   A   .

Passo 6

e) Continuação...

Com isso, conseguimos calcular o valor da potência média dissipada no resistor, que será

P d i s s = R I q m 2 = R I 2 2 = 10   5 2 2 = 125   W   .

A potência fornecida média é dada por

P f o r n = ε q m I q m cos ⁡ φ = ε M 2 I M 2 cos ⁡ ϕ .  

Outra característica importante de um circuito R L C em ressonância é que a fase ϕ = 0 , pois

tan ⁡ ϕ = X L - X C R = 0     ⇒     ϕ = 0   .

Jogando essa fase em P f o r n junto com os valores do enunciado, teremos

P f o r n = 50 2 5 2 cos ⁡ 0 ° = 125   W   .

Portanto,

P d i s s = P f o r n   .

Resposta

  1. C = 1   m F   ;
  2. I m = 5 2 2 A   ;
  3. V R M = R I m = 25 2   V       ;     V C M = X C I m = 25 2   V     ;     V L M = X L I m = 50 2   V   .
  4. V e r   f i g u r a   d o   P a s s o   4   ;
  5.   C = 1 ω 2 L = 0,5   m F       ;       P d i s s = P f o r n   .

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