Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos RL, Circuitos CA

Considere o circuito da figura 1 onde ε = 15   V , R 1 = 1   k Ω , R 2 = 2   k Ω , C = 10 - 6 F , L = 10 - 2 H e ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase1: chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo

Fase 2: chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo

Determine, justificando todas as respostas:

a ) A ddp V P - V Q em função do tempo durante a fase 2.

b ) A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2.

c ) A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2.

d ) A energia do circuito durante a fase 2.

Considere agora que as posições do indutor e do capacitor são trocadas e a resistência R 1 é substituída por outra R 3 , conforme a Figura 2. Nestas novas condições, determine:

e ) O valor da resistência R 3 tal que a energia do circuito seja igual ao da Figura 1.

f ) Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna r = 2 Ω , após quanto tempo a energia inicial do circuito decai de 1 / e 2 , sendo “ e " a base dos logaritmos naturais.

Passo 1

a ) A ddp V P - V Q em função do tempo durante a fase 2.

Determinar a ddp V P - V Q é determinar a ddp do capacitor durante a fase 2.

Durante a fase 2, ao circuito é formado apenas pelo capacitor e pelo indutor. Em um circuito L C , a carga no capacitor é dada por:

q t = Q m á x cos ⁡ ω t

Logo, a ddp no capacitor será:

V C t = V C m á x cos ⁡ ω t

A ddp máxima V C m á x no capacitor ocorre quando ele está totalmente carregado. Na fase 1, quando o capacitor está totalmente carregado:

V C m á x = V R 2

V C m á x = R 2 I = R 2 ε R 1 + R 2

Logo:

V C m á x = ε R 2 R 1 + R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os valores, teremos:

V C m á x = 15 × 2000 1000 + 2000 = 10 V

A frequência de oscilação, para um circuito L C , corresponde à frequência de ressonância, dada por:

ω = 1 L C

Substituindo os valores, teremos:

ω = 1 10 - 2 × 10 - 6 = 1 10 - 8 = 1 10 - 4

ω = 10 4   r a d / s

Finalmente:

V P - V Q t = 10 cos ⁡ 10 4 t   V

Passo 3

b ) A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2.

Como falamos no passo anterior, a ddp no capacitor é dada por:

V C t = 10 cos ⁡ 10 4 t

Onde V C t = q ( t ) / C , logo:

q t C = q t 10 - 6 = 10 cos ⁡ 10 4 t

q t = 10 - 5 cos ⁡ 10 4 t

Por definição, a corrente no indutor será dada por:

i t = d q t d t

i t = - 10 - 1 sen ⁡ 10 4 t

Finalmente:

i t = - 0,1 sen ⁡ 10 4 t   A

Passo 4

c ) A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2.

Acabamos resolvendo esse cara no passo anterior:

V C t = 10 cos ⁡ 10 4 t

Onde V C t = q ( t ) / C , logo:

q t C = q t 10 - 6 = 10 cos ⁡ 10 4 t

q t = 10 - 5 cos ⁡ 10 4 t

Passo 5

d ) A energia do circuito durante a fase 2.

A energia do circuito será dada por:

U = U C + U L

U = q 2 2 C + L i 2 2

Onde C = 10 - 6 F e L = 10 - 2 H , logo:

U = 10 - 5 cos ⁡ 10 4 t 2 2 × 10 - 6 + 10 - 2 - 10 - 1 sen ⁡ 10 4 t 2 2

U = 10 - 10 cos 2 ⁡ 10 4 t 2 × 10 - 6 + 10 - 2 × 10 - 2 sen 2 ⁡ 10 4 t 2

U = 10 - 4 cos 2 ⁡ 10 4 t 2 + 10 - 4 sen 2 ⁡ 10 4 t 2 = 10 - 4 2 cos 2 ⁡ 10 4 t + sen 2 ⁡ 10 4 t

U = 10 - 4 2

U = 5 × 10 - 5 J

Passo 6

e ) O valor da resistência R 3 tal que a energia do circuito seja igual ao da Figura 1.

Em um circuito R L , quando t → ∞ , V L → 0 , logo a corrente passa somente pelo indutor, e não mais pelo resistor R 2 .

A energia máxima no indutor é dada por:

U = L i m á x 2 2 → i m á x = 2 U L

i m á x = 2 × 5 × 10 - 5 10 - 2 = 10 - 4 10 - 2 = 10 - 1

i m á x = 0,1   A

Assim, o valor de R 3 é dado por:

i m á x = ε R 3 → R 3 = ε i m á x

R 3 = 15 0,1

R 3 = 150   Ω

Passo 7

f ) Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna r = 2 Ω , após quanto tempo a energia inicial do circuito decai de 1 / e 2 , sendo “ e " a base dos logaritmos naturais.

Em um circuito R L C , a carga no capacito varia de acordo com a equação:

q t = Q ⋅ e - r . t 2 . L ⋅ cos ⁡ ( ω ' t + ϕ )

Onde ω ' = ω 2 - R 2 L 2     , lembrando que ω = 1 L C .

A energia no circuito é proporcional ao quadrado da carga no capacitor

U t ∝   q 2 t

E a carga no capacitor é proporcional à seguinte exponencial

q t ∝   e - r . t 2 . L

Logo:

U t ∝ e - r . t 2 . L 2

U t ∝ e - r . t L

Para que a energia decaia de 1 / e 2 , é necessário que:

e - r . t L = 1 e 2 = e - 2

Logo>

r t L = 2 → t = 2 L r

Substituindo os valores de L e r , teremos:

t = 2 × 10 - 2 2 = 10 - 2

t = 0,01   s

Resposta

a )

V P - V Q t = 10 cos ⁡ 10 4 t   V

b )

i t = - 0,1 sen ⁡ 10 4 t   A

c )

q t = 10 - 5 cos ⁡ 10 4 t

d )

U = 5 × 10 - 5 J

e )

R 3 = 150   Ω

f )

t = 0,01   s

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