Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuito CA, Capacitores e Dielétricos

Considere o circuito formado por uma bateria com fem ε , um resistor com resistência R , um capacitor com capacitância C , um indutor com indutância L e uma chave comutadora com duas posições: a e b .

A chave permanece na posição a por um tempo muito longo. Nesta situação, em um instante definido como t = 0 , a chave passa para a posição b.

a ) Qual é a carga Q 0 na placa superior do capacitor em t = 0 .

b ) Deduza a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor com a chave na posição b . Sabendo que a solução geral da equação diferencial tem a forma Q t = A cos ⁡ ω t + ϕ , determine ω . Usando as condições iniciais para o problema determine A e ϕ .

c ) Determine a energia U C t no capacitor e a energia U L ( t ) no indutor como função do tempo. A soma das energias no capacitor e no indutor depende do tempo?

Passo 1

a ) Qual é a carga Q 0 na placa superior do capacitor em t = 0 .

Quando a chave está na posição a , o capacitor está em processo de carregamento, por conta da fem ε . E quando o problema diz que a chave está na posição a por um tempo muito longo, isso significa que o capacitor está totalmente carregado.

Quando o capacitor está totalmente carregado, ε = V C , logo:

Q 0 C = ε

Q 0 = C ε

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Passo 2

b ) Deduza a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor com a chave na posição b . Sabendo que a solução geral da equação diferencial tem a forma Q t = A cos ⁡ ω t + ϕ , determine ω . Usando as condições iniciais para o problema determine A e ϕ .

Quando a chave passa para a posição b , o circuito passará a ser formado somente pelo capacitor e pelo indutor. Portanto, de acordo com a Lei das Malhas:

V C + V L = Q C + L d I d t = 0

Por definição, I = d Q / d t , portanto, a equação diferencial será:

Q C + L d d t d Q d t = 0

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

Passo 3

Sabendo que a solução da equação diferencial é Q t = A cos ⁡ ω t + ϕ , vamos aplicar isso à equação diferencial para determinar ω .

Q t = A cos ⁡ ω t + ϕ

d Q t d t = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

d 2 Q t d t 2 = - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ

Substituindo isso na equação diferencial

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

Teremos:

- A L ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ + A cos ⁡ ω t + ϕ C = 0

Agora é só organizar esse cara:

A L ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ = A cos ⁡ ω t + ϕ C

L ω 2 = 1 C

ω 2 = 1 L C

Finalmente:

ω = 1 L C

Passo 4

As condições iniciais do circuito são:

Q 0 = Q 0

I 0 = 0

Onde:

Q t = A cos ⁡ ω t + ϕ

I t = d Q t d t = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

Então vamos utilizar isso para determinar A e ϕ , beleza?

Q 0 = A cos ⁡ ω . 0 + ϕ = Q 0

A cos ⁡ ϕ = Q 0

I 0 = - A ω sen ⁡ ω . 0 + ϕ = 0

- A ω sen ⁡ ϕ = 0

A ω sen ⁡ ϕ = 0

Então, daqui podemos tirar que:

A cos ⁡ ϕ = Q 0

A ω sen ⁡ ϕ = 0

Então temos duas possibilidades:

A = Q 0

ϕ = 0

Ou:

A = - Q 0

ϕ = π

Passo 5

c ) Determine a energia U C t no capacitor e a energia U L ( t ) no indutor como função do tempo. A soma das energias no capacitor e no indutor depende do tempo?

As energias no capacitor e no indutor são dadas por:

U C = Q 2 2 C

U L = L I 2 2

Onde:

Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

I t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t

Portanto:

U C t = Q 0 cos ⁡ ω t 2 2 C = Q 0 2 cos 2 ⁡ ω t 2 C

U L t = L - Q 0 ω sen ⁡ ω t 2 2 = L Q 0 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t 2

Lembrando que ω = 1 / L C , logo:

ω 2 = 1 L C → L ω 2 = 1 C

Substituindo isso na expressão de U L t , teremos:

U L t = Q 0 2 sen 2 ⁡ ω t 2 C

U C t = Q 0 2 cos 2 ⁡ ω t 2 C

Somando as energias, teremos:

U L t + U C t = Q 0 2 sen 2 ⁡ ω t 2 C + Q 0 2 cos 2 ⁡ ω t 2 C = Q 0 2 2 C sen 2 ⁡ ω t + cos 2 ⁡ ω t

U L t + U C t = Q 0 2 2 C

Logo, a somas das energias no capacitor e no indutor independe do tempo.

Resposta

a )

Q 0 = C ε

b )

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

ω = 1 L C

A = Q 0

ϕ = 0

Ou:

A = - Q 0

ϕ = π

c )

U L t = Q 0 2 sen 2 ⁡ ω t 2 C

U C t = Q 0 2 cos 2 ⁡ ω t 2 C

A soma das energias no capacitor e no indutor independe do tempo.

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