Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Capacitores e Dielétricos, Indutância

No circuito L C abaixo, com o capacitor descarregando, a corrente atinge o seu valor máximo I m no instante t = 0 .

a ) Escreva a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor. Usando o fato de que a corrente é máxima no instante t = 0 , demostre que Q 0 = 0 .

b ) Escreva a solução geral da equação. Determine a carga Q t e a corrente I t no circuito para t > 0 satisfazendo as condições iniciais Q 0 = 0 e I 0 = I m .

c ) Calcule a energia total no circuito L C e mostre que ela se conserva.

Passo 1

a ) Escreva a equação diferencial para a carga Q t na placa superior do capacitor. Usando o fato de que a corrente é máxima no instante t = 0 , demostre que Q 0 = 0 .

Usando a lei das malhas, a somas das diferenças de potencial entre todos os elementos do circuito deve ser nulo, logo:

V L = V C

L d I d t = Q C

Sabendo que, durante a descarga do capacitor, I = d Q / d t , teremos:

- L d 2 Q d t 2 = Q C

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

Dividindo todos os termos por L , teremos:

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para demonstrar que Q 0 = 0 , vamos voltar à equação inicial:

L d I d t = Q C

O problema disse que, em t = 0 , a corrente é máxima, logo:

d I d t t = 0 = 0

Sendo assim:

Q 0 C = 0

Q 0 = 0

Passo 3

b ) Escreva a solução geral da equação. Determine a carga Q t e a corrente I t no circuito para t > 0 satisfazendo as condições iniciais Q 0 = 0 e I 0 = I m .

A equação diferencial de Q t que encontramos na letra a foi:

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

A solução geral da equação diferencial acima é:

Q t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t

I t = - ω A sen ⁡ ω t + ω B cos ⁡ ω t

Onde:

ω = 1 L C

Passo 4

A partir daqui, vamos usar as condições iniciais do problema pra encontrar os valores de A e B , ok?

Q 0 = 0

I 0 = I m

A partir dessas condições, teremos:

Q 0 = 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0

A = 0

I 0 = I m = ω B cos ⁡ 0

B = I m ω

Finalmente, substituindo as constantes, teremos:

Q t = I m ω sen ⁡ ω t

I t = I m cos ⁡ ω t

Passo 5

c ) Calcule a energia total no circuito L C e mostre que ela se conserva.

A energia total do sistema será a soma das energias do capacitor e do indutor, logo:

U = U C + U L

U = Q 2 t 2 C + L I 2 t 2

Substituindo as expressões de Q t e I t , teremos:

U = I m 2 2 C ω 2 sen 2 ⁡ ω t + L I m 2 2 cos 2 ⁡ ω t

Lembrando que:

ω = 1 L C → ω 2 = 1 L C

Teremos:

U = L C I m 2 2 C sen 2 ⁡ ω t + L I m 2 2 cos 2 ⁡ ω t

U = L I m 2 2 sen 2 ⁡ ω t + L I m 2 2 cos 2 ⁡ ω t

U = L I m 2 2 sen 2 ⁡ ω t + cos 2 ⁡ ω t

Sabendo que sen 2 ⁡ ω t + cos 2 ⁡ ω t = 1 , finalmente, teremos:

U = L I m 2 2

Portanto, a energia do circuito é constante, provando que ela se conserva, independente do estado do circuito.

Resposta

a )

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

b )

Q t = I m ω sen ⁡ ω t

I t = I m cos ⁡ ω t

c )

U = L I m 2 2

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