Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Puc - Física 3 – P3 2018.2 - 2

No circuito da figura, tem-se ε = 10   V , R = 10   Ω , L = 1   H , r = 1   Ω e C = 1   μ F . Inicialmente o capacitor está descarregado e o indutor está sem energia. No circuito, ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1: chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2: chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

  1. Encontre a expressão para a corrente no indutor em função do tempo durante a Fase 1.
  2. Sabe-se que a carga no capacitor durante a Fase 2 tem a seguinte expressão geral (aqui o tempo t é medido a partir do fechamento da chave S 2 ):

    q t = q m e - γ t cos ⁡ ω ' t + φ   .

  3. Determine o valor do coeficiente de amortecimento γ , da frequência angular ω e da fase φ .
  4. Escreva a expressão geral para a corrente em função do tempo durante a Fase 2, usando os valores obtidos no item a), assim como os valores para a corrente inicial e para q m .
  5. Desenhe o circuito R L C sem a fonte, indicando o sentido da corrente inicial e as polaridades das tensões em todos os seus elementos. Em seguida, determine expressões para as tensões no resistor r e no capacitor C em função do tempo durante a Fase 2.

Passo 1

a) Na Fase 1, como a chave S 2 está aberta, então temos apenas um circuito R L . Para esse caso, temos que a corrente varia com o tempo da seguinte maneira:

i t = i m 1 - e - t τ L   ,

sendo que τ L = L / R é uma constante de tempo indutiva característica do sistema e i m = ε / R é o maior valor que corrente pode alcançar no circuito.

Jogando os valores que o problema fornece, teremos

i t = 1 - e - 10 t   A   .

Nessa expressão A é a unidade Ampère para a corrente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Nesse caso, é importante nos lembrarmos de como são escritas as quantidades que entram na expressão para a carga q ( t ) . A primeira delas é a constante de amortecimento γ :

γ = r 2 L = 0,5   s - 1   ,

em que já substituímos os valores do problema.

A outra quantidade é a frequência angular ω :

ω ' = ω 0 2 - γ 2 ≈ 10 3   r a d s   .

Agora, para finalizar, precisamos encontrar a fase φ . Precisamos ver como é carga no instante inicial. Mas o problema disse que, inicialmente, a carga inicial do capacitor é zero. Por isso, logo que fechamos a chave S 2 , a carga inicial do capacitor é igual a zero:

q 0 = 0 = q m cos ⁡ φ     ⇒     φ = π 2     .

Com essa fase, podemos reescrever a carga do capacitor como

q t = q m e - γ t cos ⁡ ω t + π 2       ⇒     q t = - q m e - γ t sen ⁡ ( ω t )   .  

Passo 3

c) Agora basta derivarmos a carga com relação ao tempo para encontrarmos a corrente:

i t = d q t d t = - q m e - γ t - γ sen ⁡ ω ' t + ω cos ⁡ ω ' t     .

A corrente em t = 0   da Fase 2 será igual ao valor da corrente máxima do final da Fase 1. Portanto,

i t = 0 = 1 = - q m ω '   ⇒   q m = - 1 ω ' = - 10 - 3   C   .

Podemos encontrar também como fica a carga

q t ≈ 10 - 3 e - 0,5   t sen ⁡ 10 3 t   .

Substituindo q m = - 10 - 3   C na expressão i ( t ) , teremos

i t = 10 - 3 e - 0,5 t - 0,5 sen ⁡ 10 3 t + 10 3 cos ⁡ 10 3 t     .

Simplificando um pouco mais essa expressão, teremos

i t = e - 0,5 t cos ⁡ 10 3 t - 5 × 10 - 4 sen ⁡ 10 3 t   .

Agora, como o segundo termo do lado direito da igualdade é um termo pequeno, 5 × 10 - 4 e - 0,5   t sen ⁡ 10 3 t ≈ 0 em comparação com o primeiro, então podemos reescrever a expressão da corrente como

i t ≈ e - 0,5 t cos ⁡ 10 3 t   .

Passo 4

d) Na Fase 2, como temos a chave S 1 aberta, sobra apenas o circuito R L C da malha à direita, mas com a chave S 2 fechada. Para essa situação, temos que a corrente está no sentido anti-horário e as polaridades são as que estão mostradas na figura abaixo.

Vamos para as voltagens através dos elementos do circuito.

A voltagem entre os terminais do capacitor é

v C t = q t C ≈ 10 3 e - 0,5   t sen ⁡ 10 3 t   .

Através do resistor, teremos que

v r t = r i t ≈ r e - 0,5 t cos ⁡ 10 3 t   .

Resposta

  1. i t = 1 - e - 10 t A   ( a m p è r e ) ;
  2. γ = r 2 L = 0,5   s - 1     ;     ω ' = ω 0 2 - γ 2 ≈ 10 3   r a d s     ;     φ = π 2   ;  
  3.   i t ≈ e - 0,5 t cos ⁡ 10 3 t   ;  
  4. v C t = q t C ≈ 10 3 e - 0,5   t sen ⁡ 10 3 t   ;   v r t ≈ r e - 0,5   t cos ⁡ 10 3 t   .

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