Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos CA

Considere o circuito mostrado na figura abaixo, onde o capacitor C está inicialmente descarregado. Considere ε , R 1 , R 2 , C e L dados.

Fase I: A chave S é comutada para a posição 1 ( t = 0 ). Nestas condições:

a ) Escreva a expressão da corrente no circuito em função do tempo i ( t ) .

b ) Após um tempo muito longo, determine as tensões sobre R 1 , R 2 e L .

Fase II: A chave é comutada para a posição 2 ( t = 0 ).

c ) Temos agora um circuito RLC em série onde a corrente pode ser aproximadamenre dada pela seguinte expressão: i t = I m e - α . t cos ⁡ ω . t . determine os três parâmetros desta expressão: I m , α e ω em função dos dados do problema ( ε , R 1 , R 2 , C e L ).

d ) Após um tempo muito longo calcule a energia total dissipada em R 2 .

Passo 1

a )

Durante a fase 1 , temos um circuito RL. Para esse tipo de circuito, temos que a corrente varia da seguinte maneira:

i = ε R . 1 - e - R . t L

Podemos sempre chegar nas equações para corrente usando a lei das malhas, mas é mais fácil decorar essas malditas.

No caso acima, temos que a resistência equivalente é a soma das resistências, tendo em vista que os resistores estão em série, então, a equação da corrente é:

i = ε R 1 + R 2 . 1 - e - ( R 1 + R 2 ) . t L   [ A ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

No fim da fase 1 , o indutor se comporta como um fio qualquer sem resistência, e portanto, a d.d.p entre seus terminais é nula, e a corrente no circuito é máxima I m . Logo, a tensão está dividida entre as duas resistências, usando V = R . i , temos:

V R 1 = R 1 . I m

V R 2 = R 2 . I m

Além disso:

ε = R 1 + R 2 . I m

I m = ε R 1 + R 2

Substituindo nas duas primeiras equações, temos:

V R 1 = R 1 . ε R 1 + R 2   [ V ]

V R 2 = R 2 . ε R 1 + R 2   [ V ]  

Passo 3

c )

Com a chave na posição 2 , temos um circuito RLC, nesse tipo de circuito, a corrente, conforme dito no enunciado é dada pela seguinte expressão:

i t = I m . e - α . t . cos ⁡ ω . t

Precisamos agora determinar I m , α e ω . Vamos começar com o valor da corrente.

Para t = 0 , temos que a corrente é i 0 = I m , e deve ser igual à corrente no fim da fase 1 , ainda bem que já calculamos isso no item anterior!

I m = ε R 1 + R 2

Temo que α = R 2 . L , para o nosso caso:

α = R 2 2 . L   [ s - 1 ]

Finalmente, temos que ω = 1 L . C - R 2 4 . L 2 , para o nosso circuito, temos:

ω = 1 L . C - R 2 2 4 . L 2   [ r a d / s ]

Passo 4

d )

Para determinar a energia dissipada na resistência r durante a fase dois, devemos calcular a energia armazenada no indutor durante a fase 1 . Como o capacitor está inicialmente descarregado, somente a energia armazenada no indutor será dissipada no resistor, vamos calcular isso:

U = L . I m 2 2

Substituindo o valor da corrente, que já calculamos, temos:

U = L 2 . ε R 1 + R 2 2   [ J ]

Resposta

a )   i = ε R 1 + R 2 . 1 - e - ( R 1 + R 2 ) . t L   [ A ]

b ) V R 1 = R 1 . ε R 1 + R 2   [ V ] ; V R 2 = R 2 . ε R 1 + R 2   [ V ]  

c )   ω = 1 L . C - R 2 2 4 . L 2   [ r a d / s ]

d )   U = L 2 . ε R 1 + R 2 2   [ J ]

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