Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

USP – Física III – Prova 3 – 2013 – Questão nº4.

Considere o circuito L C abaixo com cargas + Q 0 e - Q 0 nas placas do capacitor. A chave é fechada no instante t = 0 .

  1. Escreva a equação diferencia da carga Q t na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Q t .
  2. Determine a carga Q t na placa superior e a corrente I t no circuito para t > 0 e que satisfazem as condições iniciais.
  3. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento l e diâmetro 2 a com N voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  4. Qual é a nova frequência angular ω ' de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 100   μ 0 ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular ω do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

Passo 1

  1. Escreva a equação diferencia da carga Q t na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Q t .
  2. Bom, sabemos que a soma de todas as ddps de um circuito deve ser nula, certo? Logo:

    V C + V L = 0

    Q C + L d I d t = 0

    Mas sabemos que I = d Q / d t ... substituindo isso aqui em cima:

    Q C + L d 2 Q d t 2 = 0

    d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

    Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e podemos escrevê-la como:

    d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    ω = 1 L C

    A condição inicial é que inicialmente, a carga na placa superior do capacitor seja máxima.

    t = 0 → Q 0 = 0

    Passo 2

  3. Determine a carga Q t na placa superior e a corrente I t no circuito para t > 0 e que satisfazem as condições iniciais.
  4. Beleza! Conforme eu falei, a equação:

    d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    ω = 1 L C

    É uma equação diferencial de segunda ordem e a cara dela é bem familiar... ela tem a mesma cara da equação para um sistema massa-mola sem amortecimento.

    A solução dessa equação diferencial vai ser algo do tipo:

    Q t = A cos ⁡ ( ω t ) + B sen ⁡ ω t

    Sabemos que em t = 0 , Q 0 = Q 0 . Logo:

    Q 0 = Q 0 = A

    Além disso, sabemos que em t = 0 , I 0 = 0 .

    I t = d Q t d t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t + B ω cos ⁡ ( ω t )

    I 0 = B ω = 0

    B = 0

    Portanto, a solução da equação diferencial é:

    Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

    I t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t

    Passo 3

  5. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento l e diâmetro 2 a com N voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  6. A indutância é dada por:

    L = ϕ B I

    Então temos que começar nos preocupando com o fluxo do campo magnético.

    O campo magnético de um solenoide é dado por:

    B = μ 0 N I l

    O fluxo do campo magnético para um solenoide com N espiras é dado por:

    ϕ B = N B A

    ϕ B = N × μ 0 N I l × π a 2

    ϕ B = μ 0 N 2 π a 2 I l

    Agora podemos finalmente calcular a indutância:

    L = ϕ B I

    L = μ 0 N 2 π a 2 l

    Passo 4

  7. Qual é a nova frequência angular ω ' de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética 100   μ 0 ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular ω do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

A frequência angular é dada por:

ω = 1 L C

A nova indutância L ' será dado por:

L ' = μ N 2 π a 2 l

Nesse caso, μ = 100 μ 0 . Substituindo na fórmula da indutância:

L ' = 100 μ 0 N 2 π a 2 l

L ' = 100 L

Assim, a nova frequência será:

ω ' = 1 L ' C = 1 100 L C

ω ' = 1 10 1 L C

Lembrando que:

ω = 1 L C

Por fim:

ω ' = ω 10

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Resposta

  1. d 2 Q d t 2 + ω 2 Q = 0

    Q 0 = Q 0

  2. Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

    I t = - Q 0 ω sen ⁡ ω t

  3. L = μ 0 N 2 π a 2 l

ω ' = ω 10

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