Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Ufpe - Física 3 – P3 2018.1 -3

O circuito LC oscilante representado na figura abaixo (despreze qualquer efeito dissipativo) é formado por um capacitor com capacitância C = 10 - 9   F e um indutor com indutância L = 9,0   ×   10 - 3   H . Neste circuito, verifica-se que a tensão (diferença de potencial) máxima obtida é de 3,0   V .

  1. Partindo do princípio de conservação da energia eletromagnética, obtenha ( i ) a equação diferencial ordinária de segunda ordem que descreve a evolução temporal da carga no capacitor; ( i i ) a partir do resultado obtido em ( i ) obtenha a frequência de oscilação f = ω / ( 2 π ) (onde ω é a frequência angular do sistema) das cargas e da corrente neste circuito LC.
  2. Calcule o valor da carga máxima no capacitor e da corrente máxima no circuito.
  3. Calcule o valor da energia máxima armazenada no campo magnético do indutor.

Passo 1

a)

i ) A energia total U t o t a l do sistema é a soma da energia do capacitor com a energia do indutor e U t o t a l deve ser constante, já que não há nenhum elemento dissipativo no circuito. Por isso

U t o t a l = U C t + U L t = q 2 t 2 C + L i 2 t 2 = c o n s t a n t e .

Se derivamos com relação ao tempo

d U t o t a l d t = 1 2 C   2 q t d q d t + 1 2   2 i t d i d t = 0   .

Como i t = d q d t , temos que d i d t = d 2 q d t 2 . Substituindo isso na expressão acima, temos

q t C   i t + L d 2 q d t 2   i t = 0     ⇒   d 2 q ( t ) d t 2 + 1 L C q t = 0   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i i ) A solução dessa equação diferencial é

q t = Q m a x cos ⁡ ω t + ϕ ,

em que Q m a x é a carga máxima no circuito, ω é a frequência angular e ϕ é a fase, que depende das condições iniciais do problema.

Jogando essa expressão para q ( t ) na equação diferencial, teremos

- Q m a x ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ + 1 L C   Q m a x cos ⁡ ω t + ϕ = 0   .

Como essa igualdade deve ser zero para todo tempo, então,

ω = ω 0 = 1 L C   .

Para completar, a corrente também oscilará no tempo e será igual a

i t = d q t d t = - Q m a x ω sen ⁡ ω t + ϕ   ,

sendo que o valor máximo da corrente será

i m a x = Q m a x ω 0 = Q m a x L C   .

Passo 3

b) A diferença de potencial do capacitor é dada por:

V C ( t ) = q t C = Q m a x cos ⁡ ω t + ϕ C   .

Dessa expressão, a gente vê que o potencial V C ( t ) também oscila no tempo e tem valor máximo constante dado por

V C m a x = Q m a x C = 3   V   ⇒   Q m a x = 3 C = 3   ×   10 - 9   C   .  

Passo 4

c) A energia U L ( t ) armazenada no campo magnético do indutor é U L t = L i 2 t 2   . Substituindo a expressão para i ( t ) que encontramos no final do Passo 2, obteremos

U L t = L i 2 t 2 = L Q m a x 2 ω 0 2 s e n 2 ω t + ϕ 2 = L i m a x 2 2 ,  

que oscila no tempo.

Por isso, o valor máximo da energia armazenada no indutor é constante e tem o seguinte valor

U L m a x = L Q m a x 2 ω 0 2 2 = Q m a x 2 2 C   .

Dos valores do enunciado, chegamos a

U L m a x = 3 × 10 - 9 2 2 × 10 - 9 = 4,5   ×   10 - 9   J   .

Resposta

  1. d 2 q ( t ) d t 2 + ω 0 2 q t = 0   ,       f 0 = 1 2 π 1 L C     ;
  2.   Q m a x = 3 C = 3   ×   10 - 9   C     ;
  3. U L m a x = 4,5   ×   10 - 9   J   .

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