Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

UNICAMP – Física 3 – 2020.1 – P2 – Discursiva

Q 3 - Um circuito R L C série está conectado a uma fonte de tensão alternada ε ( t ) = [ 40 sen ⁡ ( 100 t ) ] V . A resistência tem valor R = 50   Ω , a indutância é L = 3   H e a capacitância é C = 62,5   μ F .

a ) O circuito é mais capacitivo ou mais indutivo? Justifique.

b ) Qual é a amplitude da corrente no circuito?

c ) Para que valor deve ser ajustada a frequência da fonte de modo que a amplitude da corrente permaneça a mesma ao dobrarmos a capacitância?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com a questão!

Nesse sistema como temos uma alternada do tipo ε ( t ) = V 0 sen ⁡ ( ω t ) , temos uma corrente do tipo:

i t = i 0 sen ⁡ ω t + ϕ

Onde ω = 100 e ϕ é a defasagem entre a fonte e a corrente, que poder encontrada da seguinte forma:

cos ⁡ ϕ = R Z

Onde Z = R 2 + X L - X C 2 .

Para sabermos se o circuito é mais indutivo ou capacitivo temos que comparar suas reatâncias, se a reatância capacitiva for maior, temos um circuito capacitivo, se for a indutiva temos um circuito indutivo.

As reatâncias capacitivas e indutivas são dadas respectivamente por:

X C = 1 ω C

X L = ω L

Para saber a amplitude de corrente pedida em ( b ) , vamos usar que a amplitude de corrente é dada por:

i 0 = V 0 Z

Então é só substituir pela expressão de Z , que encontramos uma expressão para i 0 e depois só substituir os valores que conhecemos, que encontramos seu valor.

Depois que acharmos a expressão para i 0 podemos avaliar o que o item ( c ) pede.

Vamos nessa então!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos ver o que o item ( a ) pede, então temos que calcular as reatâncias capacitivas e indutivas, usando as equações do passo 1 .

Vamos usar as seguintes informações ω = 100   r a d / s , C = 62,5   μ F = 62,5 ⋅ 10 - 6   F e que L = 3   H .

A reatância capacitiva é dada por:

X C = 1 100 ( 62,5 ⋅ 10 - 6 )

⇒ X C = 160   Ω

A reatância indutiva é dada por:

X L = 100 ( 3 )

⇒ X L = 300   Ω

Então temos que X L > X C então esse circuito é mais indutivo.

Passo 3

Agora que temos esses valores podemos calcular a defasagem ϕ entre a corrente e a fonte, temos que:

Z = R 2 + X L - X C 2

⇒   Z = ( 50 ) 2 + 30 0 - 16 0 2

Isso nos dá que:

Z = 148,66

Então:

cos ⁡ ϕ = 50 148,66

⇒ cos ⁡ ϕ = 0,336

Então temos que:

ϕ = 1,23   r a d

Assim temos que:

Passo 4

Agora vamos atrás da amplitude de corrente i 0 , então temos o seguinte:

i 0 = V 0 Z

⇒ i 0 = V 0 R 2 + X L - X C 2

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

i 0 = 40 ( 50 ) 2 + 30 0 - 16 0 2

= 40 148,66

Assim temos que:

i 0 = 0,27   A

Passo 5

Agora para encontrar o que o item ( c ) pede vamos ter que usar a expressão de i 0 , dada por

i 0 = V 0 R 2 + X L - X C 2

Só que como ele quer saber o quanto podemos mexer na frequência angular, temos que substituir as expressões que conhecemos de X C e X L , assim:

i 0 = V 0 R 2 + ω L - 1 ω C 2

Para que essa amplitude se mantenha a mesma com a mudança de C , temos que a expressão que está ao quadrado deve ser manter igual.

Assim se dobramos a capacitância a frequência angular deve ser mudada afim de manter esse valor constante, assim:

ω L - 1 ω C = ω ' L - 1 ω ' 2 C

⇒ ω 2 L C - 1 ω C = ω ' 2 2 L C - 1 2 ω ' C

Supondo que ω ' é igual a ω vezes um fator n que é de quanto a gente o mudou, temos:

ω 2 L C - 1 ω C = n 2 ω 2 2 L C - 1 2 n ω C

⇒ ω 2 L C - 1 = n 2 ω 2 2 L C - 1 2 n

Passo 6

Para facilitar nossas contas, vamos chamar o termo ω 2 L C = c , então a equação fica da seguinte forma:

c - 1 = n 2 2 c - 1 2 n

⇒ 2 n c - 1 = 2 n 2 c - 1

⇒ n 2 c - 2 = 2 n 2 c - 1

Dividindo os dois lados por 2 c , temos:

n 2 c - 2 2 c = n 2 - 1 2 c

⇒ n 2 + n 2 - 2 c 2 c = 1 2 c

Agora se adicionarmos aos dois lados 2 - 2 c 2 / 16 c 2 , poderemos completar quadrados, assim:

n 2 + n 2 - 2 c 2 c + 2 - 2 c 2 16 c 2 = 1 2 c + 2 - 2 c 2 16 c 2

⇒ n + 2 - 2 c 4 c 2 = 1 2 c + 2 - 2 c 2 16 c 2

⇒ n + 2 - 2 c 4 c 2 = 1 2 c + 1 4 c 2 - 1 2 c + 1 4

⇒ n + 2 - 2 c 4 c 2 = 1 4 c 2 + 1 4

⇒ n + 2 - 2 c 4 c = 1 4 c 2 + 1 4

Então temos que:

n = 1 4 c 2 + 1 4 - 2 - 2 c 4 c

Usando o que sabemos de c , temos:

n = 1 4 ( ω 2 L C ) 2 + 1 4 - 2 - 2 ( ω 2 L C ) 4 ( ω 2 L C )

Substituindo os valores que conhecemos, temos que:

n = 0,8

Então se dobramos a capacitância temos que ter uma nova frequência angular ω ' = 0,8 ω .

Resposta

( a )

O circuito é mais indutivo.

( b )

i 0 = 0,27   A

( c )

ω ' = 0,8 ω

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