Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

UFF - Física 2 – P3 2018.1 - 14

Um circuito LC é construído com um indutor de 20   m H e um capacitor de 8,0   μ F . No instante t = 0 , a carga no capacitor era nula e a corrente máxima, igual a 5,0   A . Quanto tempo decorre até o capacitor ficar completamente carregado?

  1. 0,40   m s
  2. 1,00   m s
  3. 0,60   m s
  4. 0,20   m s
  5. 0,80   m s

Passo 1

Uma característica muito importante de circuitos LC é que a carga q ( t ) nas placas do capacitor oscila senoidalmente com o tempo e por isso podemos representar essa carga como

q t = Q m a x cos ⁡ ω 0 t + ϕ ,  

em que ω 0 = 1 / L C , Q m a x é a carga máxima e ϕ a fase, que é obtida a partir das condições iniciais do problema. Além disso, a corrente que percorre o circuito também oscila no tempo, já que temos o seguinte relação entre q ( t ) e i ( t ) :

i t = d q d t = - Q m a x ω 0 sin ⁡ ω 0 t + ϕ .

Em particular, o enunciado diz para nós que em t = 0 , a carga do capacitor é nula: q t = 0 = 0 . Colocando essa condição em q ( t ) acima, temos

q t = 0 = 0 = Q m a x cos ⁡ ϕ   ⇒   ϕ = π 2   .

Reescrevendo a carga, teremos

q t = Q m a x cos ⁡ ω 0 t + π 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos a expressão geral para a carga q ( t ) , podemos “perguntar” para ela qual é o tempo τ que se passa para que o capacitor seja totalmente carregado com carga Q m a x . Jogando isso na equação, teremos:

q t = τ = Q m a x = Q m a x cos ⁡ ω 0 τ + π 2   ⇒ cos ⁡ ω 0 τ + π 2 = 1   .

Para satisfazer a essa condição, o ângulo deve ser

ω 0 τ + π 2 = n π   ,

ou seja, deve ser múltiplo inteiro de π . Se fazemos n = 0 nessa expressão, teremos τ negativo e não serve para nós. O próximo valor de n será n = 1 . Para esse caso, teremos

ω 0 τ + π 2 = π ⇒ τ = π 2 ω 0 = π L C 2   .

Existem outros valores para os quais temos as soluções da equação, o que nos daria outros instantes de tempo em que o capacitor estaria com sua carga máxima. Como conversamos há pouco, a carga oscila no tempo e vai voltar a ter valor máximo em outro momento. Vamos tomar somente o primeiro instante em que isso acontece τ = π L C / 2 .

Substituindo os valores dados na questão, teremos:

τ = π 20 × 10 - 3 8 × 10 - 6 2 ⇒ τ = 0,6   m s .

Resposta

Letra c.

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