Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos CA

Nos circuitos A e B das figuras tem-se ε = 10   V , R = 10 3 Ω , L = 10 - 2   H e C = 10 - 9   F , sendo que o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. Nestes circuitos também ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase 1 : chave S 1 fechada e S 2 aberta durante longo tempo.

Fase 2 : chave S 1 aberta e S 2 fechada durante longo tempo.

Com os dados a sua disposição:

a ) Escreva a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo no circuito A durante a Fase 2 . Esboce também o seu gráfico nas fases 1 e 2 , indicando o valor no início da Fase 1 e no início da Fase 2 .

b ) Escreva a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo no circuito B durante a Fase 2 . Esboce também o seu gráfico nas fases 1 e 2 , indicando o valor no início da Fase 1 e no início da Fase 2 .

c ) Imagine agora que o indutor no circuito A seja substituído por outro com o mesmo valor de L mas cujo fio das espiras tem uma resistência total de 10   Ω . Escreva neste caso a expressão da d.d.p ( V P - V Q ) em função do tempo durante a Fase 2 . Faça um esboço de seu gráfico na Fase 2 .

Passo 1

a )

Para o circuito A , temos que a fase 1 corresponde a um circuito RC, onde o capacitor está sendo carregado, e a fase 2 corresponde a um circuito LC, onde a corrente oscila por conta da presença do indutor.

Na Fase 1 , temos que a d.d.p nos terminais do capacitor varia de 0 até o valor máximo 10   V .

Agora vamos ao que interessa, a fase 2 . Durante essa fase, temos um circuito LC, nele, a carga do capacitor varia da seguinte maneira:

q = Q cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde Q é a carga inicial, ou seja, a carga do capacitor ao final da fase 1 , esse valor é dado por:

Q = C ε → Q = 10 - 9 ⋅ 10 = 10 - 8   C

Tendo em vista que q = C ε , temos que a d.d.p nos terminais do capacitor varia da seguinte maneira:

ε = Q C cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde ω = 1 / L C e ϕ = 0 . Substituindo os valores conhecidos:

ε = 10 - 8 10 - 9 ⋅ cos ⁡ 1 10 - 2 ⋅ 10 - 9 t

ε = 10 cos ⁡ 10 5 10   t

V P - V Q = 10 cos ⁡ 10 5 10   t

Portanto, a d.d.p no início da fase 2 é 10   V e a partir desse momento a d.d.p varia periodicamente, como indicado no gráfico abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Durante a fase 1 , temos um circuito RL, nesse circuito, temos que a corrente varia da seguinte maneira:

i = ε R ( 1 - e - R t L )

Para t = 0 , temos que a corrente é nula, ou seja, temos que a d.d.p nos terminais do indutor será 10   V , pois o resistor não contribuirá ( V R = R i ) . E depois de um longo tempo, temos que o indutor se comporta como um fio comum, ou seja, a d.d.p em seus terminais será nula.

Agora vamos para a fase 2 . Nessa fase temos um circuito LC, nele, temos que a corrente varia da seguinte forma:

i = - I sen ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde I é a corrente final da fase 1 , ou seja, I = ε R = 10 10 3 = 10 - 2   A e como a corrente inicial na fase 2 vale I , temos que

i ( 0 ) = - I sen ⁡ ω ⋅ 0 + ϕ = I

sen ⁡ ϕ = - 1 → ϕ =   - π 2

Além disso, ω = 10 5 10   rad/s . A d.d.p nos terminais de um indutor é dada por:

V P - V Q = L d i d t

Derivando a equação da corrente:

V P - V Q = L - I ω cos ⁡ ω t + ϕ

Substituindo os valores, temos:

V P - V Q = 10 - 2 - 10 - 2 ⋅ 10 5 10 cos ⁡ 10 5 10   t - π 2

V P - V Q = - 10 10 cos ⁡ 10 5 10   t - π 2

Portanto, temos que a d.d.p inicial na fase 2 é nula e a partir desse momento, ela irá oscilar periodicamente, como apresentado no gráfico abaixo.

Passo 3

c )

Agora, iremos voltar à situação do circuito A , no entanto temos agora que o fio do indutor apresenta uma resistência total de 10   Ω . Na fase 1 , não temos nenhuma alteração. Na fase 2 , passamos a ter um circuito RLC, ou seja, um circuito com oscilação amortecida, para esse circuito, temos que a carga no capacitor varia da seguinte maneira:

q = C ε . e - R t 2 L cos ⁡ ω ' t + ϕ

V P - V Q = ε   e - R t 2 L cos ⁡ ω ' t + ϕ

Onde ω ' = ω 2 + R L 2 2 , substituindo os valores, temos:

V P - V Q = 10   e - 10 t 2 ⋅ 10 - 2 cos ⁡ 10 5 10 2 + 10 ⋅ 10 - 2 2 2 t + ϕ

V P - V Q = 10   e - 500 t cos ⁡ ( 10 5 10   t )

Repare que o segundo termo dentro da raiz pode ser desprezado por ser muito pequeno em relação ao primeiro termo. Além disso, temos que ϕ = 0 , pois a carga inicial no capacitor é C ε . Temos então que na fase 2 a d.d.p inicial é 10   V e ela irá variar periodicamente com oscilação amortecida conforme o gráfico abaixo.

Resposta

a )   V P - V Q = 10 cos ⁡ 10 5 10   t

b )   V P - V Q = - 10 10 cos ⁡ 10 5 10   t - π 2

c ) V P - V Q = 10   e - 500 t cos ⁡ ( 10 10   t )

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