Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Circuitos RL, Circuitos CA

No circuito da figura abaixo, considere as seguintes fases:

Fase 1: S 1 e S 2 fechadas e S 3 aberta por um longo tempo.

a ) Determine a corrente no indutor no início e no final da Fase 1.

b ) Calcule a energia final armazenada no indutor L .

Fase 2: S 1 e S 3 abertas e S 2 fechada durante logo tempo.

Fase 3: S 1 e S 2 abertas e S 3 é fechada.

c ) Determine a frequência angular ω da fonte C A para que a corrente na malha R 3 L C tenha a maior amplitude possível.

d ) Se ω = 2 × 10 8   [ r a d / s ] , faça o diagrama dos fasores da malha R 3 L C e calcule o ângulo de fase entre ε t e i t .

e ) Determine a potência média fornecida pela fonte C A e a potência média dissipada em R 3 .

Dados: ε 0 = 12   V , ε t = 50 sen ⁡ ω t V , L = 0,2   m H , C = 0,5   p F , R 1 = R 2 = 2   Ω e R 3 = 40   [ k Ω ]

Passo 1

a ) Determine a corrente no indutor no início e no final da Fase 1.

Com S 1 e S 2 fechadas, o circuito é formado por ε 0 , R 1 , R 2 e L .

Nesse circuito, a corrente através do indutor será dada por:

I L t = ε 0 R 1 . 1 - e - R 1 t L

Em t = 0 , assim que as chaves são fechadas, a corrente no indutor é nula (toda a corrente vai para R 2 ), logo:

I L 0 = 0   A

No final da Fase 1, ou seja, quando t → ∞ , toda a corrente circuito passa através do indutor (não haverá corrente passando por R 2 ), logo:

I L ∞ = ε 0 R 1

Onde ε 0 = 12   V e R 1 = 2   Ω . Logo:

I L ∞ = 12 2

I L ∞ = 6   A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule a energia final armazenada no indutor L .

A energia no indutor é dada por:

U L = L I 2 2

Como já vimos na letra a , no final da Fase 1, a corrente no indutor é dada por:

I L ∞ = 6   A

Logo, sabendo que L = 0,2   m H = 2 × 10 - 4 H :

U L = 2 × 10 - 4 × 6 2 2 = 2 × 10 - 4 × 36 2

U L = 3,6 × 10 - 3   J

U L = 3,6   m J

Passo 3

c ) Determine a frequência angular ω da fonte C A para que a corrente na malha R 3 L C tenha a maior amplitude possível.

Obs.: Durante a Fase 2, em que S 1 e S 3 são abertas e S 2 é fechada por um longo tempo, o circuito será formado somente por R 2 e L , onde a energia que estava acumulada no indutor no final da Fase 1 será totalmente dissipada no resistor R 2 .

Na Fase 3, o circuito será formado por ε t , C , R 3 e L , logo, é um circuito R L C .

Para que a corrente na malha tenha a maior amplitude possível, é necessário que a frequência ω seja a frequência de ressonância, definida por:

ω = ω 0 = 1 L C

Onde:

L = 0,2   m H = 2 × 10 - 4 H

C = 0,5   p F = 5 × 10 - 13   F

Logo:

ω = 1 2 × 10 - 4 × 5 × 10 - 13

ω = 1 10 - 16 = 1 10 - 8

ω = 10 8   r a d / s

Passo 4

d ) Se ω = 2 × 10 8   [ r a d / s ] , faça o diagrama dos fasores da malha R 3 L C e calcule o ângulo de fase entre ε t e i t .

Para fazer o diagrama de fasores e calcular o ângulo de fase, primeiro precisamos calcular as reatâncias capacitiva e indutiva, dadas por:

X C = 1 ω C = 1 2 × 10 8 × 5 × 10 - 13

X C = 10 4   Ω

X L = ω L = 2 × 10 8 × 2 × 10 - 4

X L = 4 × 10 4   Ω

As tensões são dadas por:

V R = R i t = 40 × 10 3 i t → V R = 4 × 10 4 i t

V L = X L i t → V L = 4 × 10 4 i t

V C = X C i t → V C = 10 4 i t

Logo, o diagrama de fasores vai ter essa cara:

Passo 5

O ângulo de fase é dado por:

tan ⁡ ϕ = X L - X C R 3

tan ⁡ ϕ = 4 × 10 4 - 10 4 4 × 10 4 = 3 × 10 4 4 × 10 4

tan ⁡ ϕ = 3 4

ϕ = arctan ⁡ 3 4

Passo 6

e ) Determine a potência média fornecida pela fonte C A e a potência média dissipada em R 3 .

A potência média fornecida, por definição, é dada por:

P m é d , f o r n = ε M I M cos ⁡ ϕ 2

Ok, as únicas coisas que estão faltando aqui são a corrente máxima I M e cos ⁡ ϕ . Pra calcularmos esse cara, vamos usar a equação:

I M = ε M Z

Onde Z é a impedância.

I M = ε M R 2 + X L - X C 2

Substituindo os valores, teremos:

I M = 50 4 × 10 4 2 + 4 × 10 4 - 10 4 2

I M = 50 4 × 10 4 2 + 3 × 10 4 2

I M = 50 16 × 10 8 + 9 × 10 8

I M = 50 25 × 10 8

I M = 50 5 × 10 4

I M = 10 - 3 A

Passo 7

Podemos calcular o cos ⁡ ϕ através da tan ⁡ ϕ , que nós já calculamos:

tan ⁡ ϕ = 3 4

Logo:

cos ⁡ ϕ = 4 5

Passo 8

Agora podemos calcular a potência média fornecida.

P m é d , f o r n = ε M I M cos ⁡ ϕ 2

P m é d , f o r n = 50 × 10 - 3 × 4 5 2 = 0,5 × 50 × 10 - 3 × 4 5

P m é d , f o r n = 20 × 10 - 3 W

P m é d , f o r n = 0,02   W

Passo 9

A potência média dissipada no resistor é dada por:

P m é d , d i s s = I m é d 2 R 3

Onde I m é d = I M / 2 .

P m é d , d i s s = I M 2 R 3 2

P m é d , d i s s = 10 - 3 2 × 4 × 10 4 2

P m é d , d i s s = 10 - 3 2 × 4 × 10 4 2 = 10 - 6 × 4 × 10 4 2

P m é d , d i s s = 2 × 10 - 2 W

P m é d , d i s s = 0,02   W

A potência média dissipada em R 3 é igual à potência média fornecida pela fonte, o que faz bastante sentido porque o resistor é o único elemento desse circuito que dissipa energia. Logo, toda a energia do circuito vai ser dissipada pelo resistor.

Resposta

a )

I L 0 = 0   A

I L ∞ = 6   A

b )

U L = 3,6   m J

c )

ω = 10 8   r a d / s

d )

ϕ = arctan ⁡ 3 4

e )

P m é d , f o r n = P m é d , d i s s = 0,02   W

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