Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Unicamp - Física 3 – P3 2018.1 - NOTURNO - 7

Um circuito LC tem uma indutância de 20   m H e uma capacitância de 5,0   μ F . No instante t = 0 , a carga no capacitor é 3,0   μ C e a corrente é 7,0   m A . A energia total é:

  1. 1,4   × 10 - 6   J ;
  2. 4,1   × 10 - 7   J ;
  3. 4,9   ×   10 - 7   J ;
  4. 9,0   ×   10 - 7   J ;
  5. 2,8   ×   10 - 6   J ;

Passo 1

Em um circuito LC, a carga Q ( t ) oscila senoidalmente com o tempo de acordo com a seguinte expressão

Q t = Q m a x cos ⁡ ω 0 t + ϕ   ,

em que Q m a x é o valor máximo da carga, ω 0 = 1 / L C é a frequência angular de oscilação da carga e ϕ é a fase que depende das condições iniciais do problema.

Se carga oscila no tempo com a expressão acima, então a corrente também oscila, pois

I t = d Q t d t = - ω 0 Q m a x sen ⁡ ω 0 t + ϕ   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia total do sistema no instante t será

U t o t a l = Q 2 t 2 C + L I 2 t 2     .

Substituindo as expressões que encontramos para Q ( t ) e I ( t ) em U t o t a l

U t o t a l = Q m a x 2 2 C cos 2 ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) + L ω 0 2 Q m a x 2 2 se n 2 ⁡ ( ω 0 t + ϕ )   .

Como ω 0 = 1 / L C , podemos simplificar a energia total para

U t o t a l = Q m a x 2 2 C cos 2 ⁡ ω 0 t + ϕ + se n 2 ⁡ ω 0 t + ϕ     ,

ou seja,

⇒ U t o t a l = Q m a x 2 2 C   ,

que é independente do tempo. Para encontrar o valor dessa energia, precisamos achar Q m a x .

Passo 3

O problema fornece para nós os valores da carga e da corrente no instante t = 0 , ou seja, conhecemos Q ( 0 ) e I ( 0 ) . Fazendo t = 0 nas expressões do Passo 1, temos que

Q 0 = Q m a x cos ⁡ ϕ   ⇒ cos ⁡ ϕ = Q 0 Q m a x  

e

I 0 = - Q m a x ω 0 sen ⁡ ϕ ⇒ sin ⁡ ϕ = - I 0 Q m a x ω 0   .

Como sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , temos que

I 2 0 Q m a x 2 ω 0 2 + Q 2 0 Q m a x 2 = 1     ⇒   Q m a x 2 = L C I 2 0 + Q 2 0 .

Passo 4

Como Q 0 = 3 × 10 - 6   C , I 0 = 7 ×   10 - 3   A e L C = 10 - 7   s , temos que

Q m a x 2 = 13,9   ×   10 - 12   C   .

Com isso, finalmente podemos encontrar o valor da energia total

U t o t a l = 13,9 ×   10 - 12 2 × 5 × 10 - 6 = 1,39   ×   10 - 6   J   .

Resposta

Letra a.

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