No circuito RLC em série e sem fonte da Figura 1, R   =   20 Ω , L = 20   m H e C   =   8   μ F . No instante t   =   0   s , a corrente no circuito é i ( 0 )   =   i o   =   10   m A , a carga no capacitor é q ( 0 ) = q o =   4   μ C e o capacitor está sendo carregado (isto é, a carga é positiva e aumenta).

Inicialmente, suponha que o resistor não existe.

(a) Determine a carga máxima q m no capacitor.

(b) Determine a corrente máxima i m no circuito.

(c) Se a carga no capacitor é dada por q ( t )   =   q m c o s ( ω o t   +   φ ) , determine o ângulo de fase φ .

Em seguida, considere a existência do resistor.

(d) Apresente, justificando, a nova expressão para q ( t ) . Em seguida, apresente um algoritmo (um procedimento detalhado, mas sem realizar as contas) para a determinação dos parâmetros q m e φ a partir dos dados do problema ( R , L , C , q o , i o ).

Passo 1

Bem, para os três primeiro itens, o problema nos pediu que desconsiderássemos a resistência, ou seja, trata-se de um circuito L C ...

E em um circuito L C , sabemos que a energia se conserva, isto é, a energia armazenada no início ( U 0 ), é igual à energia armazenada no indutor e no capacitor em qualquer instante de tempo t ...

U 0 = U t

Então a gente vai usar essa belezinha para determinar a solução dos primeiros itens, vamos nessa?

Passo 2

No início, sabemos que tanto o indutor quanto o capacitor estão carregados, já que o indutor possui uma corrente inicial de   i o   =   10   m A e o capacitor uma carga q o =   4   μ C .

E de acordo com a teoria, a energia de um indutor e de um capacitor pode ser dada por...

U 0 c a p a c i t o r = 1 2 q 0 2 C             e           U 0 i n d u t o r = 1 2 L i 0 2

Então, a energia inicial armazenada no circuito L C é...

U 0 = 1 2 q 0 2 C + 1 2 L i 0 2

Podemos calcular essa energia dada que L = 20   m H = 20 ⋅ 10 - 3   H e C   =   8   μ F = 8 ⋅ 10 - 6   F , então...

U 0 = 1 2 4 ⋅ 10 - 6 2 8 ⋅ 10 - 6 + 1 2 20 ⋅ 10 - 3 10 ⋅ 10 - 3 2   →

U 0 = 16 ⋅ 10 - 12 16 ⋅ 10 - 6 + 10 ⋅ 10 - 3 10 2 ⋅ 10 - 6   →

Simplificando ainda mais...

U 0 = 10 - 6 + 10 - 6   →

U 0 = 2 ⋅ 10 - 6 J   →

Então a energia inicial armazenada no sistema é...

U 0 = 2 μ J  

Passo 3

L e t r a   A :

Então agora vamos determinar a carga máxima q m no capacitor. Mas como fazer isso a partira da energia?

Ora, sabemos que a energia se conserva...

U 0 = U t

E há de concordar comigo que a carga vai ser máxima no capacitor quando não tiver nenhuma corrente no indutor! Isso significa que a energia nesse instante vai estar apenas no capacitor...

1 2 q m 2 C = U 0

Então...

q m 2 = 2 C U 0   →

q m = 2 C U 0

Substituindo os valores...

q m = 2 8 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 10 - 6   →

q m = 32 ⋅ 10 - 16   →

q m = 4 2   10 - 6     F →

Ou ainda...

q m = 4 2     μ F

Passo 4

L e t r a   B :

Usando o mesmo conceito, podemos usar a corrente máxima que atravessa o indutor...

1 2 L i m 2 = U 0     →

i m 2 = 2 U 0 L   →

i m = 2 U 0 L

Substituindo os valores...

i m = 2 2 ⋅ 10 - 6 20 ⋅ 10 - 3   →

i m = 1 5   10 - 3   →

i m = 0,20 ⋅   10 - 3   →

i m = 2 ⋅   10 - 4   →

i m = 10 - 2 2   →

Ou ainda...

i m = 10 2 ⋅   10 - 3   A   →

i m = 10 2   m A

Passo 5

L e t r a   C :

Ora... Sabemos que a carga no capacitor é dada por...

q ( t )   =   q m c o s ( ω o t   +   φ )

E foi nos dito que no tempo inicial t = 0 a carga é q ( 0 ) = q o =   4   μ C . Então...

4 μ =   4 2 μ cos ⁡   φ →

cos ⁡ φ = 1 2

Logo...

φ = π 4   o u   45 °

Passo 6

L e t r a   D :

Cara... Agora nós devemos considerar o circuito já com a resistência...

Nesse caso teremos um amortecimento, ou seja, vai circular uma corrente devido a parte L C , até parar por completo devida a presença do resistor, elemento que dispersa a energia por calor.

O fator de amortecimento de um circuito R L C é dado por γ = R / 2 L ...

γ = 20 2 20 ⋅ 10 - 3 = 500 1 s

E a frequência angular do sistema ω 0 ...

ω 0 = 1 L C     →

ω 0 = 1 20 ⋅ 10 - 3 8 ⋅ 10 - 6 = 2500   r a d / s

Ou seja, ω 0 > γ , o que significa que o amortecimento é suave, ou seja, a corrente vibra até parar por completo. Quando isso acontece num circuito R L C , é porque a carga presente no capacitor possui a seguinte equação...

q t = q m e - γ t c o s ω ' t   +   φ         ( i )

Onde...

ω ' = ω 0 2 - γ 2 1 / 2

Sendo assim, conhecendo o perfil da carga no capacitor, podemos saber a corrente, no circuito, já que...

i t = d q d t

Derivando...

i t = - γ q m e - γ t c o s ω ' t   +   φ - ω ' q m e - γ t s i n   ω ' t   +   φ           i i

E olha que massa, a gente conhece a carga inicial q 0 = q 0 e também conhecemos a corrente inicial i 0 = i 0 , então usando as duas equações i e i i podemos montar o sistema...

q 0 = q 0 = q m e 0 c o s φ

i 0 = i 0 = - γ q m e 0 c o s φ - ω ' q m e 0 s i n   φ

Ou ainda...

q 0 = q m c o s φ i 0 = - γ q 0 - ω ' q m s i n   φ

Repare que esse é um sistema 2 × 2 (duas equações e duas incógnitas q m e φ ), já que a gente conhece i 0 , q 0 , γ e ω ' . Então podemos encontrar os valores de q m e φ a partir dele que podem não serem os mesmos encontrados, já que aqui temos um sistema amortecido.

Resposta

Letra A:

q m = 4 2     μ F

Letra B:

i m = 10 2   m A

Letra C:

φ = π 4

Letra D:

q 0 = q m c o s φ i 0 = - γ q 0 - ω ' q m s i n   φ

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