Considere o circuito abaixo, onde C é um capacitor de 9   ×   10 - 12   F , L   um indutor de 9   μ H , R 1   =   900   Ω , R 2   =   1   Ω e ε =   9   V .

Fase 1: Chave S 1 fechada, com S 2 e S 3 abertas. O capacitor C está totalmente descarregado. Determine:

a) A corrente no indutor após longo tempo com S 1 fechada e S 2 e S 3 abertas;

b) A energia transferida pela bateria ao indutor após longo tempo com S 1 fechada.

Fase 2: Depois de muito tempo, a chave S 1 é aberta e S 2 e S 3 são fechadas. Supondo t   =   0   s quando S 2 e S 3 são fechadas, determine:

c) A expressão da corrente instantânea i ( t ) no indutor L em função do tempo, a partir deste instante;

d) A diferença de potencial em R 2 a partir deste instante;

e) A soma das energias instantâneas armazenadas no capacitor e no indutor a partir deste instante. Justifique.

Fase 3: Se, após algum tempo, S 3 é aberta, permanecendo S 2 fechada e S 1 aberta, determine:

f) A carga no capacitor e a corrente no indutor um longo tempo após a abertura de S 3 ;

g) A energia dissipada no resistor R 2 um longo tempo após a abertura de S 3 . Justifique.

Passo 1

Ok! Então nesse primeiro tempo temos a chave S 1 sendo fechada e mantendo as demais abertas...

Nesse instante, repare que com as duas outras chaves abertas, não com o que se preocupar com essa parte da direita porque o circuito está aberto e não tem corrente indo para o outro lado. Então podemos simplificar para...

Passo 2

L e t r a   A :

Bem, se a gente considerar muito tempo após o fechamento da chave S 1 , e levando em conta de que é um sistema de corrente contínua, o indutor se transforma em apenas um curto circuito e que conduz uma corrente contínua i :

E essa corrente pode ser determinada pela Lei de Ohm...

i = ε R 1     →

i = 9 900 = 0,01   A

Passo 3

L e t r a   B :

A energia transferida para o indutor é a energia armazenada no campo magnético desse indutor dado pela teoria por...

E = 1 2 L   i 2

Como o indutor tem uma indutância de L = 9   μ H (ou 9 ⋅ 10 - 6   H ) e a corrente i = 0,01 = 10 - 2   A ...

E = 1 2 9 ⋅ 10 - 6   10 - 2 2   →

E = 1 2 9 ⋅ 10 - 6   10 - 4   →

E = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Passo 4

L e t r a   C :

Nesse instante então ( t = 0 ) a chave S 1 é aberta, S 2 e S 3 são fechadas...

Repare que aí já não vai mais fazer sentido continuar representando o circuito com a fonte, pois agora ele é quem é o circuito aberto (que não circula corrente)...

E ainda, olha que maravilha, temos um curto circuito ali no resistor R 2 , pois entre o caminho de resistência 0 (a chave) e o de resistência, ela passa pelo caminho de resistência 0 . Ou seja, para efeito de análise de circuito, também podemos desconsiderar...

PRONTINHO! Resumindo, quando essa fase 2 se inicia, temos então um circuito L C . Agora partiu responder as perguntas?

Passo 5

Na Letra C temos que determinar a corrente i t em todo instante de tempo t .

Bem, de acordo com a teoria sobre circuito L C , a corrente que circula em um circuito L C será senoidal de valor...

i t = i 0 cos ⁡ ω 0 t

Onde i 0 é a corrente inicial no indutor e ω 0 é a frequência angular de oscilação do circuito.

Bem, para a corrente i 0 , como sabemos que no indutor não pode haver variação brusca de corrente, a corrente imediatamente após as chaves se fecharem e S 1 abrir, a corrente que passa no indutor é i = 0,01   A , lá do passo 2. Então ela deve permanecer a mesma nesse primeiro instante t = 0 ...

i 0 = i = 0,01

Logo...

i t = 0,01 cos ⁡ ω 0 t

Já o ω 0 pode ser dado por...

ω 0 = 1 L C

Então...

ω 0 = 1 9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 9   ×   10 - 12     →

ω 0 = 1 9 2   ×   10 - 18     →

ω 0 = 1 9   ×   10 - 9     →

Ou seja...

ω 0 = 1 9   × 10 9     r a d / s

SIM! É uma frequência muito alta! Isso significa que a corrente oscila muito rápido...

i t = 0,01 cos ⁡ 10 9 9 t A

Passo 6

L e t r a   D :

Ora! Nós vimos ali no passo 4 que o resistor R 2 após S 3 se fechar vira um curto-circuito, o que significa que a diferença de potencial em cima dele é...

V = 0

Passo 7

L e t r a   E :

Bem, nesse instante t = 0 , a energia do circuito L C é a energia armazenada no indutor ( E L ) somado com a energia armazenada no capacitor ( E C )...

E s i s t e m a = E L + E C

Como não tem nenhum resistor nesse instante (circuito sem amortecimento L C ) a energia se conserva em todo instante de tempo t (desde o tempo t = 0 ).

No tempo t = 0 , a energia do indutor foi calculada...

E L = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Só que o problema nos disse que inicialmente a energia do capacitor era de 0 J , já que estava descarregado inicialmente! Então...

E s i s t e m a = E L + E C   →

E s i s t e m a = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Essa é então a energia total do circuito .

Passo 8

L e t r a   F :

Nessa fase 3 a chave S 3 é então reaberta...

Nesse instante de tempo, passa a circular uma corrente no resistor R 2 que estávamos ignorando até o momento, então ele volta a aparecer no circuito formando um circuito amortecido R L C .

Passo 9

Na letra D é a para agente considerar o circuito muito tempo assim e determinar a carga no capacitor ( Q ) e a corrente no indutor ( I ).

Ora! A presença de um resistor na parada faz o sistema se descarregar, de modo que após um longo período de tempo, a carga no capacitor se torna nula e a corrente para de circular...

Q = 0           e           I = 0

Passo 10

L e t r a   G :

Bem! Como o resistor é um elemento dissipativo de energia, ele vai dissipar em forma de calor toda energia do sistema E s i s t e m a calculada no passo 7 fazendo o circuito perder toda sua energia e então parar de circular a corrente como já vimos no passo anterior. Então...

E d i s s i p a d a = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Resposta

Letra A:

i = 0,01   A

Letra B:

E = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Letra C:

i t = 0,01 cos ⁡ 10 9 9 t A

Letra D:

V = 0

Letra E:

E s i s t e m a = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

Letra F:

Q = 0           e           I = 0

Letra G:

E d i s s i p a d a = 4,5 ⋅ 10 - 10   J

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