Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Ufpe - Física 3 – P3 2018.2 - 3

A figura abaixo ilustra um circuito elétrico contendo um capacitor C , um indutor L e uma chave S . Sabe-se que no instante t = 0 , a chave S é fechada, e que nesse instante, o capacitor tem carga elétrica máxima dada por Q t = 0 = Q 0 e que a corrente elétrica inicial no circuito é nula [ I t = 0 = 0 ] . Para tal situação, determine:

  1. O instante de tempo para o qual a carga armazenada no capacitor se reduz a 3 / 2 de sua carga em t = 0 .
  2. O instante de tempo para o qual a energia elétrica armazenada no capacitor é igual a 1 / 2 da energia elétrica do sistema em t = 0 .

Passo 1

Antes de começarmos a resolver o problema, vamos recordar de algumas coisas importantes desse tipo de circuito L C . A primeiro coisa é, como não há resistência, não há também perda de energia. Por isso, a carga elétrica Q ( t ) e a corrente I ( t ) , e as respectivas energias armazenadas no capacitor e indutor, oscilam senoidalmente no tempo.

A energia armazenada U C ( t ) no campo elétrico do capacitor varia com o tempo e é dada por

U C t = Q 2 t 2 C   ,

enquanto a energia armazenada U L ( t ) no campo magnético armazenado no indutor também varia no tempo e tem a seguinte expressão

U L t = L I 2 t 2   .

A carga armazenada nesse circuito L C é dada por

Q t = Q M cos ⁡ ω t + ϕ ,

em que Q M é a carga máxima armazenada no capacitor, ϕ é uma fase constante e a frequência ω de oscilação da carga é dada por

ω = 1 L C   .

Para encontrarmos a corrente I ( t ) , basta derivarmos Q ( t ) com relação ao tempo

I t = - Q M ω sen ⁡ ω t + ϕ .

Portanto, temos duas constantes que não conhecemos ainda: Q M e ϕ . Para encontrar quais os valores delas, precisamos de duas condições iniciais. No caso, o problema deu para gente essas condições.

Para fechar, como ω = 1 / L C , quando a gente substitui Q ( t ) em U C ( t ) e I ( t ) em U L ( t ) e soma as duas para obter a energia total do circuito, obtemos o seguinte:

U T = U C t + U L t = Q 0 2 2 C   ,

que não depende do tempo: a energia não é dissipada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Depois dessa revisão, agora, sim, vamos resolver nosso problema...

Para t = 0 , o problema deu duas condições iniciais para nós. A primeira delas é: o capacitor está totalmente carregado com carga Q 0 , o que significa que

Q t = 0 = Q M cos ⁡ ϕ = Q 0   ;

e a segunda é: a corrente é nula nesse instante de tempo, ou seja,

I t = 0 = - Q M ω sen ⁡ ϕ = 0   .

Resolvendo esta última equação, teremos ϕ = 0 e, substituindo isso em Q ( t = 0 ) , vamos ter que Q M = Q 0 . Com isso, as expressões ficam reescritas como

Q t = Q 0 cos ⁡ t L C   ; I t = - Q 0 L C sen ⁡ t L C   .  

Para encontrarmos o tempo t ’ em que a carga é 3 / 2 da carga inicial Q 0 , temos que fazer

Q t = τ = Q 0 cos ⁡ τ L C = 3 Q 0 2   ⇒ cos ⁡ τ L C = 3 2   .

O ângulo para o qual o cosseno tem esses valor é π / 6 . Portanto, τ será dado por

τ L C = π 6     ⇒     τ = π L C 6   .

Passo 3

c) No tempo t = 0 , a energia do sistema é apenas a energia armazenada no capacitor, já que não há corrente no circuito: U L t = 0 = 0 .

Para obtermos o tempo τ 1 em que a energia do capacitor é igual a energia dele em t = 0 , precisamos fazer a seguinte igualdade:

U C t = τ 1 = Q 0 2 2 C cos 2 ⁡ τ 1 L C = 1 2 Q 0 2 2 C   ⇒ cos ⁡ τ 1 L C = 1 2   ,    

que vai nos dar que

τ 1 L C = π 4       ⇒     τ 1 = π L C 4   .

Resposta

  1. τ = π L C 6   ;
  2. τ 1 = π L C 4   .

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