Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Considere um circuito L C com capacitância C = 3 μ F e indutância L = 30 m H . Em t = 0 , não há corrente passando no circuito e a tensão sobre o capacitor é de 60 V . Nas respostas numéricas abaixo, quando necessário, aproxime π ≈ 3 , ε 0 ≈ 10 - 11 F / m e μ 0 ≈ 10 - 6 H / m .

(a) Qual é o primeiro instante em que a corrente no indutor é máxima?

(b) Qual é o valor da corrente máxima no indutor?

(c) Após t = 0 , qual é o primeiro instante em que a carga no capacitor volta a ser máxima?

(d) Considere um capacitor de placas paralelas circulares de área 1 c m 2 e distantes 1 m m uma da outra. Qual é a taxa máxima de variação do campo elétrico em um ciclo de oscilação do circuito? Lembre que o campo elétrico é uniforme entre as placas com módulo de E = σ / ε 0 , onde σ é a densidade superficial de cargas sobre as placas.

(e) Qual é a densidade de corrente de deslocamento máxima entre as placas do capacitor?

(f) Qual é o campo magnético máximo em torno do capacitor a uma distância de 1 c m de seu centro?

Passo 1

Vamos começar calculando o período de oscilação do circuito L C .

A frequência angular natural é dada por:

ω = 1 L C = 1 3 × 10 4   r a d / s .

Assim sendo, a frequência e o período são dados por:

f = ω 2 π = 1 3 × 10 4 2 π ,

T = 1 f = 6 π × 10 - 4   s ,

T = 1,8 × 10 - 3 = 1,8   m s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A corrente máxima no indutor ocorre após um tempo t = 1 4 T . Substituindo o valor de T , temos:

t = 0,45   m s .

Passo 3

Podemos descobrir a corrente máxima I M A X no indutor por meio da conservação de energia. Temos:

1 2 C V M A X 2 = 1 2 L I M A X 2 ,

I M A X = C / L   V M A X .

Como a tensão máxima no capacitor é igual à tensão inicial de 60 V , temos:

I M A X = 10 - 2 . 60 = 0,6 A .

Passo 4

A carga no capacitor volta a ser máxima no instante t = 1 2 T , ou seja,

t = 0,9   m s .

Note que, neste instante, a polaridade do capacitor é invertida em relação ao instante inicial.

Passo 5

Para o item (d), vamos começar calculando a carga q no capacitor. Temos que:

q = Q cos ⁡ ω t ,

com Q = C V M A X .

Passo 6

Agora, podemos calcular a densidade superficial de cargas sobre as placas:

σ = q A = Q cos ⁡ ω t A .

Passo 7

Logo, o campo elétrico será:

E = σ ε 0 = Q cos ⁡ ω t A ε 0 .

Estamos, na verdade, interessados na variação do campo elétrico, ou seja, d E d t . A partir da expressão acima, temos que:

d E d t = - Q ω A ε 0 sen ⁡ ω t .

Passo 8

Então, a taxa máxima de variação do campo elétrico será

d E d t M A X = Q ω A ε 0 = C V M A X ω A ε 0  

d E d t M A X = 3 × 10 - 6 × 60 × 1 3 × 10 4 10 - 2 2 × 10 - 11 = 6 × 10 1 4   N / C s .

Passo 9

Como a corrente máxima é dada por:

I M A X = 0,6 A ,

a densidade de corrente máxima será:

J M A X = I M A X A = 0,6 10 - 2 2 = 6 00 0   A / m 2 .

Passo 10

Para calcular o campo magnético em torno do capacitor, aplicamos a lei de Ampère a um círculo com raio r que passa através do centro entre as placas. Temos:

B = μ 0 2 π r R 2 i C .

Como estamos interessados no campo magnético máximo, fazemos:

B M A X = μ 0 2 π r R 2 I M A X .

O raio R das placas do capacitor é dado por:

R = A π .

Logo,

B M A X = μ 0 2 π r A π I M A X ,

B M A X = 10 - 6 × 10 - 2 × 0,6 2 × 10 - 2 2 = 30 × 10 - 6   T .

Resposta

(a) t = 0,45   m s .

(b) I M A X = 0,6 A .

(c) t = 0,9   m s .

(d) d E d t M A X = 6 × 10 1 4   N / C s .

(e) J M A X = 6   k A / m 2 .

(f) B M A X = 3 0   μ T .

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