Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

Indutância, Circuito CA

Um solenoide de autoindutância L é percorrido por uma corrente estacionária I 0 .

a ) Qual é o valor da energia magnética armazenada no indutor?

b ) Por meio de um chaveamento, no instante t = 0 , o indutor é colocado em série com um capacitor de capacitância C de modo a formar um circuito L C . A corrente inicial no indutor é I 0 = I 0 e a carga inicial no capacitor é Q 0 = 0 . Use a lei de conservação de energia para determinar a carga máxima Q m á x que pode ser atingida no capacitor.

c ) Escreva a equação diferencial para a carga Q do capacitor e determine a frequência angular de oscilação ω .

Passo 1

a ) Qual é o valor da energia magnética armazenada no indutor?

A energia armazenada no indutor é dada por:

U L = L I 0 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Por meio de um chaveamento, no instante t = 0 , o indutor é colocado em série com um capacitor de capacitância C de modo a formar um circuito L C . A corrente inicial no indutor é I 0 = I 0 e a carga inicial no capacitor é Q 0 = 0 . Use a lei de conservação de energia para determinar a carga máxima Q m á x que pode ser atingida no capacitor.

Como a energia do circuito é conservada, o capacitor atingirá a carga máxima quando toda a energia do indutor for passada para ele.

Portanto:

U L m á x = U C m á x

L I 0 2 2 = Q m á x 2 2 C

Finalmente:

Q m á x = I 0 L C

Passo 3

c ) Escreva a equação diferencial para a carga Q do capacitor e determine a frequência angular de oscilação ω .

A soma das diferenças de potencial de todo o circuito deve ser nula, portanto:

L d I d t + Q C = 0

Por definição

I = d Q d t

Logo:

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

Dividindo todos os termos por L , teremos:

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

Passo 4

Essa equação diferencial tem a solução do tipo:

Q t = Q m á x cos ⁡ ω t

Logo:

d Q d t = - ω Q m á x sen ⁡ ω t

d 2 Q d t 2 = - ω 2 Q m á x cos ⁡ ω t

Substituindo isso na equação diferencial, teremos:

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

- ω 2 Q m á x cos ⁡ ω t + Q m á x cos ⁡ ω t L C = 0

Organizando e simplificando esse cara, teremos:

ω 2 = 1 L C → ω = 1 L C

Resposta

a )

U L = L I 0 2 2

b )

Q m á x = I 0 L C

c )

d 2 Q d t 2 + Q L C = 0

ω = 1 L C

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