Muito tempo após o fechamento das chaves S 1 e S 3 , elas são abertas e a chave S 2 é fechada, dando início à FASE 2. Esta comutação é realizada de forma simultânea, não havendo perdas nas energias armazenadas no indutor e no capacitor. Com base nestas informações:

e) Determine de forma literal expressões para a carga q ( t ) no capacitor C e a corrente   i ( t ) no circuito relevante em função do tempo (medido em segundos a partir do início da FASE 2), de R 1 ,   R 2 ,   L   e   C , assim como da corrente inicial e da carga inicial no capacitor.

f) Determine de forma numérica expressões para a carga q ( t )   no capacitor   C   e a corrente i ( t ) no circuito relevante em função do tempo (medido em segundos a partir do início da FASE 2), usando os valores de R 1 ,   R 2 ,   L   e   C , assim como da corrente inicial e da carga inicial no capacitor, obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Letra (e):

Muito tempo depois das chaves S 1 e S 2 serem abertas, elas são fechadas significa que tanto o capacitor, quanto o indutor estão carregados. Quando fechamos apenas a chave S 2 , temos um circuito R L C série com resistência equivalente igual a R = R 1 + R 2 , pois temos dois resistores em série. As fontes ficam de fora dessa vez.

A equação diferencial que descreve esse circuito é:

ϵ i n d u t o r + ϵ c a p a c i t o r + ϵ r e s s i t o r = 0

- L d 2 q d t 2 - q C - R d q d t = 0

Dividindo tudo por L e multiplicando por (-1) temos:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + 1 L C q = 0

Aqui temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea. Vou reescrever a constante 1 L C = ω d 2 , assim temos:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + ω d 2 q = 0

Passo 2

A técnica para resolver essa equação é achar a equação característica, em termos de λ . Se você não lembra, dá uma olhadinha nessa parte no nosso site que ta super maneiro!

A equação característica da nossa equação diferencial é:

λ 2 + R L λ + ω d 2 = 0

E a solução para ela é:

λ = - R L ± Δ 2 ,   Δ = R L 2 - 4 ω d 2

A solução dessa equação vai depender do sinal dessa raiz. Então precisamos determinar se esse circuito vai estar no regime crítico, supercrítico ou subcrítico.

Então vou resgatar os valores de R ,   C e L :

R = 2,4 Ω

C = 1 × 10 - 3 F

L = 4 × 10 - 3 H

Então o valor de Δ é:

Δ = R L 2 - 4 1 L C = 2,4 4 × 10 - 3 2 - 4 4 × 10 - 3 . 1 × 10 - 3 < 0

Então temos que o regime desse circuito é subcrítico, quando temos raízes imaginárias. Daí a solução é:

λ 1 = - R 2 L + i ω

λ 2 = - R 2 L - i ω

Onde temos que ω = 4 ω d 2 - R L 2 .

A solução para essa equação diferencial associada é:

q t = e - R 2 L t A c o s ( ω t + ϕ )

A resistência equivalente é R = R 1 + R 2 , então a solução em termos dos parâmetros dados é:

q t = e - R 1 + R 2 2 L t A c o s ( ω t + ϕ )

Passo 3

A condição inicial nos diz que a carga em t = 0 é máxima:

q 0 = Q = A c o s ( ϕ )

Sendo assim, ϕ = 0 , para termos carga máxima, daí a constante A é:

A = Q

Aí a solução final para a carga em função do tempo é:

q t = Q . e - R 1 + R 2 2 L t c o s ω t

Por fim, podemos derivar essa expressão em função do tempo e determinar a corrente nesse circuito:

i t = - Q ω . e - R 1 + R 2 2 L t s e n ω t + Q e - R 1 + R 2 2 L t . - R 1 + R 2 2 L c o s ω t

i t = Q e - R 1 + R 2 2 L t - ω s e n ω t + - R 1 + R 2 2 L c o s ω t

Passo 4

Letra (f):

Os valores dos componentes são:

R = R 1 + R 2 = 1,2 + 1,2 = 2,4 Ω

C = 1 × 10 - 3 F

L = 4 × 10 - 3 H

Q = 12 × 10 - 3 C

ω = 4 1 L C - R L 2 = 4 1 × 10 - 3 . 4 × 10 - 3 - 2,4 4 × 10 - 3 2

ω = 1908 r a d / s

E podemos calcular R 1 + R 2 2 L :

R 1 + R 2 2 L = 2,4 2 . ( 4 × 10 - 3 ) = 300

Aí as expressões numéricas para a carga e a corrente em função do tempo são:

q t = Q . e - R 1 + R 2 2 L t c o s ω t

q t = ( 12 × 10 - 3 ) . e - 300 t c o s ⁡ ( 1908 t )

E a corrente:

i t = Q e - R 1 + R 2 2 L t - ω s e n ω t + - R 1 + R 2 2 L c o s ω t

i t = 12 × 10 - 3 e - 300 t - 1908 s e n 1908 t + - 300 cos ⁡ 1908 t

Espero ter ajudado!

Resposta

e q t = C ϵ . e - R 1 + R 2 2 L t c o s ω t

i t = C ϵ e - R 1 + R 2 2 L t - ω s e n ω t + - R 1 + R 2 2 L c o s ω t

f

q t = ( 12 × 10 - 3 ) . e - 300 t c o s ⁡ ( 1908 t )

i t = 12 × 10 - 3 e - 300 t - 1908 s e n 1908 t + - 300 cos ⁡ 1908 t

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