Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

UNICAMP, Física 3, P3 - 2018.1 - Noturno, Questão 11

No circuito abaixo, o capacitor tem uma capacitância Equation e foi inicialmente carregado a uma diferença de potencial Equation com a polaridade indicada na figura. Ele forma uma espira retangular, de lados Equation e Equation ao ser ligado em série a um resistor de resistência Equation e a uma chave Equation . A espira menor tem dimensões Equation e Equation , está afastada da espira maior por uma distância Equation , possui Equation voltas e é composta de um fio cuja resistência por unidade de comprimento vale Equation . A figura não está desenhada em escala e é assumido que somente o fio da espira grande, mais próximo da espira pequena, produz campo magnético apreciável sobre esta ( Equation , Equation e Equation , portanto Equation pode ser considerado um fio muito longo). Para todas as perguntas abaixo, desconsidere o fluxo criado pela bobina menor na bobina maior, bem como o fluxo criado pela bobina maior nela mesma. Nestas condições, encontre

  1. A corrente na espira maior em função do tempo depois que a chave é fechada;
  2. O sentido da corrente induzida na espira menor (indique na figura e justifique);
  3. A corrente induzida na espira menor em função do tempo depois que a chave foi fechada.

Passo 1

a) Vamos aplicar a lei das malhas a malha do circuito. Fazendo isso, teremos

Equation

em que usamos Equation . Resolvendo a integral acima, teremos que

Equation

Quando a chave S é ligada, em Equation , o capacitor tinha uma carga total de Equation . Substituindo isso na expressão acima

Equation

Derivando com relação ao tempo, temos

Equation

que mostra que a corrente no circuito decresce exponencialmente com o tempo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) O campo magnético gerado pela corrente Equation na espira menor que encontramos está saindo do plano da página e é perpendicular a ela. No entanto, essa corrente está diminuindo com tempo, o que significa que fluxo magnético correspondente através da espira menor também está diminuindo com o tempo.

Como esse fluxo devido ao campo produzido por Equation diminui com o tempo, vai aparecer uma corrente induzida Equation no sentido anti-horário, o que produzirá um campo induzido   Equation cujo fluxo magnético se opõe à diminuição do fluxo devido a Equation .

Passo 3

c) Para resolvermos este item, vamos olhar para a figura abaixo, em que apenas consideramos o fio “infinito” de comprimento Equation ( Equation ) e a espira menor que possui Equation voltas.

O campo magnético  Equation produzido pela corrente Equation da espira maior à uma distância Equation do fio Equation tem módulo dado por

Equation

Portanto, se o vetor área Equation da espira menor é paralelo ao campo, então o fluxo magnético total através da espira menor (que tem Equation espiras!) será:

Equation

que dá como resultado um fluxo igual a

Equation

Passo 4

c) Continuação…

A fem induzida será

Equation

Derivando a corrente Equation que encontramos no Passo 1,

Equation

Substituindo em Equation , temos

Equation

Como Equation , isso significa que a corrente está no sentido anti-horário, já que, por causa da nossa escolha de   Equation saindo do plano da página o sentido positivo o anti-horário, como já tínhamos concluído no item b.

Passo 5

c) Continuação…

Agora que já encontramos a fem induzida, podemos achar também a corrente induzida Equation . Para isso, temos que nos lembrar que

Equation

em que Equation é a resistência total da espira menor.

Como o problema diz que a resistência por unidade de comprimento da espira menor é Equation e ela tem Equation voltas, então, o seu comprimento total é Equation e a sua resistência vale

Equation

Fechando, a corrente induzida é, finalmente,

Equation

Resposta

  1. Equation
  2. A corrente induzida na espira menor tem sentido anti-horário;
  3. Equation

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