Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

PUCRIO, Física 3 - FIS1051, P3 - 2014.2, Questão 2

Nos circuitos Equation e Equation das figuras tem-se Equation , Equation , Equation e Equation , sendo que o capacitor e o indutor estão inicialmente sem energia. Nestes circuitos também ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase Equation : chave Equation fechada e Equation aberta durante longo tempo.

Fase Equation : chave Equation aberta e Equation fechada durante longo tempo.

Com os dados a sua disposição:

Equation Escreva a expressão da d.d.p ( Equation ) em função do tempo no circuito Equation durante a Fase Equation . Esboce também o seu gráfico nas fases Equation e Equation , indicando o valor no início da Fase Equation e no início da Fase Equation .

Equation Escreva a expressão da d.d.p ( Equation ) em função do tempo no circuito Equation durante a Fase Equation . Esboce também o seu gráfico nas fases Equation e Equation , indicando o valor no início da Fase Equation e no início da Fase Equation .

Equation Imagine agora que o indutor no circuito Equation seja substituído por outro com o mesmo valor de Equation mas cujo fio das espiras tem uma resistência total de Equation . Escreva neste caso a expressão da d.d.p ( Equation ) em função do tempo durante a Fase Equation . Faça um esboço de seu gráfico na Fase Equation .

Passo 1

Equation

Para o circuito Equation , temos que a fase Equation corresponde a um circuito RC, onde o capacitor está sendo carregado, e a fase Equation corresponde a um circuito LC, onde a corrente oscila por conta da presença do indutor.

Na Fase Equation , temos que a d.d.p nos terminais do capacitor varia de Equation até o valor máximo Equation .

Agora vamos ao que interessa, a fase Equation . Durante essa fase, temos um circuito LC, nele, a carga do capacitor varia da seguinte maneira:

Equation

Onde Equation é a carga inicial, ou seja, a carga do capacitor ao final da fase Equation , esse valor é dado por:

Equation

Tendo em vista que Equation , temos que a d.d.p nos terminais do capacitor varia da seguinte maneira:

Equation

Onde Equation e Equation . Substituindo os valores conhecidos:

Equation

Equation

Equation

Portanto, a d.d.p no início da fase Equation é Equation e a partir desse momento a d.d.p varia periodicamente, como indicado no gráfico abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation

Durante a fase Equation , temos um circuito RL, nesse circuito, temos que a corrente varia da seguinte maneira:

Equation

Para Equation , temos que a corrente é nula, ou seja, temos que a d.d.p nos terminais do indutor será Equation , pois o resistor não contribuirá ( Equation . E depois de um longo tempo, temos que o indutor se comporta como um fio comum, ou seja, a d.d.p em seus terminais será nula.

Agora vamos para a fase Equation . Nessa fase temos um circuito LC, nele, temos que a corrente varia da seguinte forma:

Equation

Onde Equation é a corrente final da fase Equation , ou seja, Equation e como a corrente inicial na fase Equation vale Equation , temos que

Equation

Equation

Além disso, Equation . A d.d.p nos terminais de um indutor é dada por:

Equation

Derivando a equação da corrente:

Equation

Substituindo os valores, temos:

Equation

Equation

Portanto, temos que a d.d.p inicial na fase Equation é nula e a partir desse momento, ela irá oscilar periodicamente, como apresentado no gráfico abaixo.

Passo 3

Equation

Agora, iremos voltar à situação do circuito Equation , no entanto temos agora que o fio do indutor apresenta uma resistência total de Equation . Na fase Equation , não temos nenhuma alteração. Na fase Equation , passamos a ter um circuito RLC, ou seja, um circuito com oscilação amortecida, para esse circuito, temos que a carga no capacitor varia da seguinte maneira:

Equation

Equation

Onde Equation , substituindo os valores, temos:

Equation

Equation

Repare que o segundo termo dentro da raiz pode ser desprezado por ser muito pequeno em relação ao primeiro termo. Além disso, temos que Equation , pois a carga inicial no capacitor é Equation . Temos então que na fase Equation a d.d.p inicial é Equation e ela irá variar periodicamente com oscilação amortecida conforme o gráfico abaixo.

Resposta

Equation

Equation

Equation

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