Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

USP, Física 3, P3 - 2013, Questão 4

Considere o circuito Equation abaixo com cargas Equation e Equation nas placas do capacitor. A chave é fechada no instante Equation .

  1. Escreva a equação diferencia da carga Equation na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Equation .
  2. Determine a carga Equation na placa superior e a corrente Equation no circuito para Equation e que satisfazem as condições iniciais.
  3. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento Equation e diâmetro Equation com Equation voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  4. Qual é a nova frequência angular Equation de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética Equation ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular Equation do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

Passo 1

  1. Escreva a equação diferencia da carga Equation na placa superior do capacitor. Explicite a condição inicial para Equation .
  2. Bom, sabemos que a soma de todas as ddps de um circuito deve ser nula, certo? Logo:

    Equation

    Equation

    Mas sabemos que Equation ... substituindo isso aqui em cima:

    Equation

    Equation

    Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e podemos escrevê-la como:

    Equation

    Equation

    A condição inicial é que inicialmente, a carga na placa superior do capacitor seja máxima.

    Equation

    Passo 2

  3. Determine a carga Equation na placa superior e a corrente Equation no circuito para Equation e que satisfazem as condições iniciais.
  4. Beleza! Conforme eu falei, a equação:

    Equation

    Equation

    É uma equação diferencial de segunda ordem e a cara dela é bem familiar... ela tem a mesma cara da equação para um sistema massa-mola sem amortecimento.

    A solução dessa equação diferencial vai ser algo do tipo:

    Equation

    Sabemos que em Equation , Equation . Logo:

    Equation

    Além disso, sabemos que em Equation , Equation .

    Equation

    Equation

    Equation

    Portanto, a solução da equação diferencial é:

    Equation

    Equation

    Passo 3

  5. O indutor é formado por um solenoide muito longo de comprimento Equation e diâmetro Equation com Equation voltas de fio uniformemente enroladas em um núcleo de plástico (a permeabilidade do plástico é igual à do vácuo). Calcule a indutância.
  6. A indutância é dada por:

    Equation

    Então temos que começar nos preocupando com o fluxo do campo magnético.

    O campo magnético de um solenoide é dado por:

    Equation

    O fluxo do campo magnético para um solenoide com Equation espiras é dado por:

    Equation

    Equation

    Equation

    Agora podemos finalmente calcular a indutância:

    Equation

    Equation

    Passo 4

  7. Qual é a nova frequência angular Equation de oscilação se o núcleo de plástico for substituído por um núcleo de ferro com permeabilidade magnética Equation ? Expresse sua resposta em termos da frequência angular Equation do circuito com o solenoide com núcleo de plástico.

A frequência angular é dada por:

Equation

A nova indutância Equation será dado por:

Equation

Nesse caso, Equation . Substituindo na fórmula da indutância:

Equation

Equation

Assim, a nova frequência será:

Equation

Equation

Lembrando que:

Equation

Por fim:

Equation

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Resposta

  1. Equation

    Equation

  2. Equation

    Equation

  3. Equation

Equation

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