Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

PUCRIO, Física 3 - FIS1051, P3 - 2012.2, Questão 2

Considere o circuito da figura 1 onde Equation , Equation , Equation , Equation , Equation e ocorrem as seguintes fases sucessivas:

Fase1: chave Equation fechada e Equation aberta durante longo tempo

Fase 2: chave Equation aberta e Equation fechada durante longo tempo

Determine, justificando todas as respostas:

Equation A ddp Equation em função do tempo durante a fase 2.

Equation A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2.

Equation A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2.

Equation A energia do circuito durante a fase 2.

Considere agora que as posições do indutor e do capacitor são trocadas e a resistência Equation é substituída por outra Equation , conforme a Figura 2. Nestas novas condições, determine:

Equation O valor da resistência Equation tal que a energia do circuito seja igual ao da Figura 1.

Equation Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna Equation , após quanto tempo a energia inicial do circuito decai de Equation , sendo “ Equation a base dos logaritmos naturais.

Passo 1

Equation A ddp Equation em função do tempo durante a fase 2.

Determinar a ddp Equation é determinar a ddp do capacitor durante a fase 2.

Durante a fase 2, ao circuito é formado apenas pelo capacitor e pelo indutor. Em um circuito Equation , a carga no capacitor é dada por:

Equation

Logo, a ddp no capacitor será:

Equation

A ddp máxima Equation no capacitor ocorre quando ele está totalmente carregado. Na fase 1, quando o capacitor está totalmente carregado:

Equation

Equation

Logo:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os valores, teremos:

Equation

A frequência de oscilação, para um circuito Equation , corresponde à frequência de ressonância, dada por:

Equation

Substituindo os valores, teremos:

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 3

Equation A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2.

Como falamos no passo anterior, a ddp no capacitor é dada por:

Equation

Onde Equation , logo:

Equation

Equation

Por definição, a corrente no indutor será dada por:

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 4

Equation A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2.

Acabamos resolvendo esse cara no passo anterior:

Equation

Onde Equation , logo:

Equation

Equation

Passo 5

Equation A energia do circuito durante a fase 2.

A energia do circuito será dada por:

Equation

Equation

Onde Equation e Equation , logo:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 6

Equation O valor da resistência Equation tal que a energia do circuito seja igual ao da Figura 1.

Em um circuito Equation , quando Equation , Equation , logo a corrente passa somente pelo indutor, e não mais pelo resistor Equation .

A energia máxima no indutor é dada por:

Equation

Equation

Equation

Assim, o valor de Equation é dado por:

Equation

Equation

Equation

Passo 7

Equation Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna Equation , após quanto tempo a energia inicial do circuito decai de Equation , sendo “ Equation a base dos logaritmos naturais.

Em um circuito Equation , a carga no capacito varia de acordo com a equação:

Equation

Onde Equation , lembrando que Equation .

A energia no circuito é proporcional ao quadrado da carga no capacitor

Equation

E a carga no capacitor é proporcional à seguinte exponencial

Equation

Logo:

Equation

Equation

Para que a energia decaia de Equation , é necessário que:

Equation

Logo>

Equation

Substituindo os valores de Equation e Equation , teremos:

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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