Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

d y d x - y tan ⁡ x = sen ⁡ ( x )

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, temos uma equação linear de primeira ordem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO não é separável. E agora?

Perceba que ela tem esse formato:

y ' x + A x y x = B ( x )

d y d x - y tan ⁡ x = sen ⁡ ( x )

Vamos identificar A x e B ( x )

A x = - tan ⁡ x

B x = sen ⁡ x

Passo 3

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são A x e B ( x ) . O próximo passo é calcular a integral

∫ A x d x = ∫ - tan ⁡ x   d x

∫ - tan ⁡ x   d x = ∫ - sen ⁡ x cos ⁡ ( x )   d x

Vamos utilizar a substituição

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x

Então ficamos com

∫ d u u = ln ⁡ u

∫ A x d x = ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 4

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso

I x = e ln ⁡ cos ⁡ x

Ou seja

I x = cos ⁡ ( x )

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral

∫ I x B ( x ) d x = ∫ cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) d x

Vamos de novo resolver utilizando substituição

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x

∫ cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) d x = ∫ u   d u = u 2 2

Então

∫ I x B ( x ) d x = sen 2 ⁡ x 2

Passo 6

Finalmente chegamos no fim, agora só falta colocar tudo na solução

y x = 1 I x ∫ I x B ( x ) d x + C

y x = 1 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x 2 + C

y x = 1 2 sec ⁡ x ( sen 2 ⁡ ( x ) + C )  

Pronto! Resolvida a nossa equação.

Resposta

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