A solução do problema de valor inicial é:

y '   + 2 y = t e - 2 t ,   y ( 1 ) = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é solução do problema de valor inicial

y '   + 2 y = t e - 2 t ,   y ( 1 ) = 0

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:

Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial y '   +   p ( x ) y   =   q ( x ) e multiplicamos por uma função μ ( x ) . Então temos:

y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )   =   q ( x ) μ ( x )

Agora vem a parte legal, nós supomos que a função μ ( x ) é tal que:

d ( y μ ( x ) ) d x = y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

Ou seja, temos que

y ' μ ( x ) + y μ ' ( x ) = y ' μ ( x )   +   p ( x ) y μ ( x )

⇒ μ ' ( x ) = p ( x ) μ ( x )

Que uma equação diferencial clássica. Temos que

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir μ ( x ) em d ( y μ ( x ) ) d x = q ( x ) μ ( x ) e descobrimos quem é y .

E, por fim, descobrimos a constante integração usando o valor da função em um ponto.

Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!

Passo 2

Como vimo no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:

μ ( x )   =   e ∫ p ( x ) d x

Como a equação que queremos resolver é

y '   + 2 y = t e - 2 t ,   y ( 1 ) = 0

Então temos que:

q ( t ) = t e - 2 t

p ( t ) = 2

⇒ ∫ p ( t ) d t = 2 t

⇒ μ ( t ) = e 2 t

Substituindo na equação

d ( y μ ( t ) ) d t = q ( t ) μ ( t )

temos:

d ( y e 2 t ) d t = t e - 2 t e 2 t

⇒ d ( y e 2 t ) d t = t

integrando dos dois lados temos:

y e 2 t = t 2 / 2 + C ,   C ∈ R

⇒ y = t 2 / ( 2 e 2 t ) + C / e 2 t

E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:

y = t 2 / ( 2 e 2 t ) + C / e 2 t

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que a solução geral da equação

y '   + 2 y = t e - 2 t ,   y ( 1 ) = 0

é:

y = t 2 / ( 2 e 2 t ) + C / e 2 t

Mas, queremos a solução do problema de valor inicial. Então precisamos descobrir qual é a constante C em y . Bem, é informado que y ( 1 ) = 0 , então:

y ( 1 ) = 1 2 / ( 2 e 2 ) + C / e 2 = 0

⇒ C = - 1 / 2

Dessa forma, a solução do problema inicial

y '   + 2 y = t e - 2 t ,   y ( 1 ) = 0

é:

y = t 2 / ( 2 e 2 t ) - 1 / 2 e 2 t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y = t 2 / ( 2 e 2 t ) - 1 / 2 e 2 t

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