Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

x 3 y ' + 4 x 2 y + e x = 0

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, temos uma equação linear de primeira ordem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO não é separável. E agora?

x 3 y ' + 4 x 2 y = - e x

Dividindo por toda a equação por x 3

y ' + 4 x   y = - e x x 3

Perceba que ela tem esse formato:

y ' x + A x y x = B ( x )

Vamos identificar A x e B ( x )

A x = 4 x

B x = - e x x 3

Passo 3

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são A x e B ( x ) . O próximo passo é calcular a integral

∫ A x d x = ∫ 4 x   d x

∫ 4 x   d x = 4 ∫ 1 x   d x

Então ficamos com

∫ A x d x = 4 ln ⁡ x

∫ A x d x = ln ⁡ x 4

Passo 4

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso

I x = e ln ⁡ x 4

Ou seja

I x = x 4

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral

∫ I x B ( x ) d x = ∫ x 4 - e x x 3 d x

∫ I x B ( x ) d x = - ∫ x e x d x

Vamos de novo resolver essa integral por partes

u = x

d u = d x

d v = e x d x

v = e x

Usando a formula da integração por partes

∫ x e x d x = u v - ∫ v d u

∫ x e x d x = x   e x - ∫ e x d x

∫ x e x d x = x e x - e x

Então nossa integral ficou

∫ I x B ( x ) d x = - ∫ x e x d x

∫ I x B ( x ) d x = - ( x e x - e x )

∫ I x B ( x ) d x = - x e x + e x

Passo 6

Agora só falta colocar tudo na solução

y x = 1 I x ∫ I x B ( x ) d x + C

y x = 1 x 4 - x e x + e x + C

Pronto! Resolvida a nossa equação!

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas