Seja y ( x ) a solução do problema de valor inicial

y ' - 2 y = e 2 x ,     y 0 = 1

Quanto vale y 1 ?

Passo 1

De cara, você reconhece a equação como uma EDO linear com

A ( x )   =   - 2  

B ( x )   =   e 2 x

Vamos aplicar a receitinha de bolo da EDO linear

Passo 2

Calcule a integral

∫ A x d x = - 2 ∫ d x = - 2 x  

Passo 3

Calcule o fator integrante

I x = e ∫ A x d x = e - 2 x

Passo 4

Calcule a integral

∫ I x B ( x ) d x = ∫ e - 2 x e 2 x d x = ∫ d x = x  

Passo 5

Aplicando as integrais nesta solução

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C  

y x = 1 e - 2 x   x + C

Passo 6

Resolvendo o PVI

    y 0 = 1

y 0 = C = 1

Passo 7

Calculando o que se pede...

y 1 = 1 e - 2   2 = 2 e ²

Resposta

y 1 = 2 e ²

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